《高考数学理全国通用大一轮复习高考试题汇编 第三章 导数与定积分 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学理全国通用大一轮复习高考试题汇编 第三章 导数与定积分 Word版含解析（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 导数与定积分第一节 导数的概念与运算题型30 导数的定义暂无题型31 求函数的导数题型32 导数的几何意义1.(2017北京理19)已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.解析 （1）因为，所以，.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）设，则.当时，所以在区间上单调递减.所以对任意，有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.第二节 导数的应用题型33 利用导数研究函数的单调性题型34 利用导函数研究函数的极值与最值1.（2017江苏20）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
2、.（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：；（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围解析 （1）由，得，当时，有极小值为因为的极值点是的零点，所以，又，故当时，恒成立，即单调递增，所以此时不存在极值，不合题意因此，即，所以有两个相异的实根，.列表如下x+00+极大值极小值故的极值点是，从而.所以关于的函数关系式为，定义域为（2）解法一：由（1）知，即证明，即，因为，所以问题等价于，不妨设，则，不妨设，易知在上单调递增，且，从而，即得证因此解法二（考试院提供）：由（1）知，设，则当时，从而在上单调递增因为，所以，故，即，因此（3）由（1）设的两个实根为，且设，且有，因此
3、而的情况如下表所示：极大值极小值所以的极值点是，从而记，所有极值之和为，因为的极值为，所以，处理方法一：因为，于是在上单调递减因为，由，故处理方法二：所以，整理得（必然可以猜测零点），因此因此的取值范围为评注 此题第（2）问考查的是数值大小的比较，常见的有作差法、作商法、两边平方比较法，此题采用作商（考试院解法二）化简函数达到简化效果，可见对于压轴问题，方法的选择是非常关键的第（3）问实际考查的是函数零点的应用，下面提供此前我们做过的两个类似习题供参考案例1：已知函数，若函数存在极值，且所有极值之和小于，则实数的取值范围是 解析 因为，设，当时，恒成立，所以单调递减，故不存在极值；所以，设的两
4、根为（不妨设），从而，因此同号，所以问题等价于在上有两个不相等的实数根，因此，从而所以的所有极值之和为，因此，解得，又，所以实数的取值范围是另外，如果熟悉三次函数对称中心，此题还可以作如下考虑：即，令，则，所以该三次函数的对称中心为因此有这里可以采用假算的思想，即写出简单过程，省去中间过于复杂的运算过程，直接写出结果即可，这需要平时积累一些有价值的素材案例2：（徐州15-16高二下学期期末文20）已知函数，为函数的导函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若存在实数，且，使得，求证：解析 （1）若，则，所以切线斜率为，又，所以在点处的切线方程为（2），当时，恒成立，
5、所以的单调增区间为；当时，令，得或，所以的单调增区间为和，同理的单调减区间为；当时，令，得所以的单调增区间为，同理的单调减区间为（3）由题意可知，是方程的两根，则，所以令，则恒成立，所以在上单调递减，所以，即2.（2017山东理20）已知函数，其中是自然对数的底数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解析 （1）由题意，又，所以，因此曲线在点处的切线方程为，即.（2）由题意得，因为，令，则，所以在上单调递增.因为，所以当时，；当时，.（i）当时，.当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增，所以当时，取得极小值，极小值为；（ii）当时，由，
6、得，. 当时，当时，此时单调递增；当时，此时单调递减；当时，此时单调递增.所以当时，取得极大值，极大值为，当时，取得极小值，极小值是；当时，所以当时，函数在上单调递增，无极值点； 当时，所以 当时，此时单调递增；当时，此时单调递减；当时，此时单调递增；所以当时，取得极大值，极大值为；当时，取得极小值，极小值为.综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值为；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， 极大值是，极小值是.3.(2017
7、北京理19)19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.解析 （1）因为，所以，.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）设，则.当时，所以在区间上单调递减.所以对任意，有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.4.（2017全国2理11）若是函数的极值点，则的极小值为（ ）.A. B. C. D.1解析 .由，解得，所以，.令，得或，当或时，；当时，则的极小值为.故选A.5.(2017浙江理20)已知函数.（1）求的导函数；（2）求在区间上的取值范围.解析 （1）因为 ，所以.（2）由，解得或.当变化时，的变化情况如下表所示
8、.1000又，所以在区间上的取值范围是.题型35 利用导函数研究函数的图像1.(2017浙江理7)函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）.解析 导数大于零，原函数单调递增，导数小于零，原函数单调递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D题型36 恒成立与存在性问题1.（2017天津理20）设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.（1）求的单调区间；（2）设，函数，求证：；（3）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且满足.解析 （1）由，可得，令或.当变化时，变化情况如下表：增减增所以的单调增区间是和；单调减区间是.（2）证明：由，令，由（1）得，当时，当，单
9、调递减；当，单调增；所以当时，可得，即.令，.由（1）可知，在上单调递增，故当时，单调递增；故当时，单调递减.当时，故.(3)对于任意的正整数，且，令，函数，由（2）知，当时，在区间；当时，在区间，故在上至少有一个零点，不妨设为，则，由（1）得在上单调递增，故.于是.因为当时，故在单调递增，所以在区间上除外没有其他的零点，而故，而是正整数，所以是正整数，从而.即，所以只要取，就有.2.（2017全国3理21）已知函数.（1）若 ，求的值；（2）设为整数，且对于任意正整数，求的最小值.解析 （1）解法一：，则，且，当时，在上单调递增，所以时，不满足题意；当时，当时，则在上单调递减；当时，则在上单
10、调递增 若，在上单调递增，所以当时，不满足题意； 若，在上单调递减，所以当时，不满足题意； 若，在上单调递减，在上单调递增，所以，满足题意.综上所述解法二：因为，要使在上恒成立，则必要条件为，得.当时，.当时，单调递减；当时，单调递增；所以为的极小值点，即满足题意.（2）由（1）知当时，令，得，所以，从而.而，所以的最小值为题型37 方程解(零点)的个数问题1.（2017全国1理21）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.解析 （1）由于，所以.当时，从而恒成立，所以在上单调递减.当时，令，从而，得极小值 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递
11、增.（2）由（1）知，当时，在上单调递减，故在上至多一个零点，不满足条件当时，令，则，从而在上单调递增.而，所以当时，；当时；当时，.由上知若，则，故恒成立，从而无零点，不满足条件若，则，故仅有一个实根，不满足条件；若，则，注意到，故在上有一个实根.而又，且，故在上有一个实根又在上单调递减，在单调递增，故在上至多两个实根综上所述，评注 对于已知零点个数，求参数的取值范围问题的难点在于验证零点存在性的赋值上，对于一般的赋值方法要把握两点：限定要寻找的范围，如本题中分别在及上各寻找一个零点；将函数不等式变形放缩，据的范围得出.在本题中，实际上在区间上找到，使得，则说明在区间上存在零点，在区间上找到，使得，则证明在区间上存在另一个零点.对于验证零点存在性的赋值问题大家可参见2017高考数学解答题核心考点（理科版）.2.（2017全国3理11）已知函数有唯一零点，则（ ）.ABCD1解析 由条件，得：.所以，即为的对称轴，由题意，有唯一零点，故的零点只能为，即，解得故选C.题型38 利用导数证明不等式暂无题型39 导数在实际问题中的应用暂无第三节 定积分和微积分基本定理题型40 定积分的计算暂无题型41 求曲边梯形的面积暂无
