《广西专版2023_2024学年新教材高中数学第四章数列4.3.1等比数列的概念第2课时等比数列的性质课件新人教版选择性必修第二册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广西专版2023_2024学年新教材高中数学第四章数列4.3.1等比数列的概念第2课时等比数列的性质课件新人教版选择性必修第二册（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.3.1等比数列的概念等比数列的概念第第2课时等比数列的性质课时等比数列的性质课前前基基础认知知课堂堂重重难突破突破素养素养目目标定位定位随堂随堂训练素养目标定位目目 标 素素 养养1.掌握等比数列的性质及其应用掌握等比数列的性质及其应用.通过等比数列性质的学习通过等比数列性质的学习,提升逻辑推理素养提升逻辑推理素养.2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.提升数学运算素提升数学运算素养养.3.能够熟练应用等比数列知识解决生活中的实际问题能够熟练应用等比数列知识解决生活中的实际问题,提升数提升数学建模素养学建模素养.知知 识 概概 览课前基础认知等比数列
2、的等比数列的性质性质(1)一般一般地地,已知已知an是等比数列是等比数列,若正整数若正整数s,t,p,q满足满足s+t=p+q,则则asat=apaq.(2)对对有穷等比数列有穷等比数列,与首末两项与首末两项“等距离等距离”的两项之积等于首的两项之积等于首末两项的末两项的积积,即即a1an=a2an-1=akan-k+1=.(4)当当m,n,p(m,n,pN*)成等差数列时成等差数列时,am,an,ap成成等比等比数数列列.(5)“子数列子数列”性质性质对于无穷等比数列对于无穷等比数列an,若将其前若将其前k项去掉项去掉,剩余各项仍为剩余各项仍为等比数列等比数列,首项为首项为ak+1,公比为公
3、比为q;若取出所有的若取出所有的k的的倍数项倍数项,组成的数列仍为组成的数列仍为等比数列等比数列,首项为首项为ak,公比为公比为qk.微微诊断断 已知已知等比数列等比数列an的前的前4项为项为1,2,4,8,判断下列说法是判断下列说法是否正确否正确.(1)3an是等比数列是等比数列;(2)3+an是等比数列是等比数列;(4)a2n是等比数列是等比数列.提示提示:由定义可判断出由定义可判断出(1),(3),(4)正确正确.微微训练(1)由公比为由公比为q的等比数列的等比数列a1,a2,依次相邻两项的乘依次相邻两项的乘积组成的数列积组成的数列a1a2,a2a3,a3a4,是是()A.等差数列等差数
4、列B.以以q为公比的等比数列为公比的等比数列C.以以q2为公比的等比数列为公比的等比数列D.以以2q为公比的等比数列为公比的等比数列(2)等比数列等比数列an中中,若若a4=4,则则a2a6等于等于()A.4B.8C.16D.32答案答案:(1)C(2)C课堂重难突破一一 等比数列等比数列性性质的的应用用典例典例剖析剖析(2)已知数列已知数列an是等比数列是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求求a11的值的值.解解:设等比数列设等比数列an的公比为的公比为q,an为等比数列为等比数列,a1a9=a3a7=64.又又a3+a7=20,a3,a7是方程是方程t2-20t+64=0的两个的
5、两个根根,a3=4,a7=16或或a3=16,a7=4.当当a3=4,a7=16时时,规律总结规律总结 有关有关等比数列的计算问题等比数列的计算问题,基本方法是运用方程基本方法是运用方程思想列出关于基本量思想列出关于基本量a1和和q的方程组的方程组,先解出先解出a1和和q,再利用通再利用通项公式求解项公式求解,但有时运算稍烦琐但有时运算稍烦琐,而利用等比数列的性质解题而利用等比数列的性质解题,却简便快捷却简便快捷,为了发现性质为了发现性质,要充分发挥项的要充分发挥项的“下标下标”的指导作的指导作用用.学以致用学以致用1.(1)已知各项均为正数的等比数列已知各项均为正数的等比数列an中中,a1a
6、2a3=5,a7a8a9=10,则则a4a5a6等于等于()(2)在等比数列在等比数列an中中,a2,a16是方程是方程x2+6x+2=0的两个根的两个根,则则 的的值为值为()AD(方法二方法二)由等比数列的性质知由等比数列的性质知a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9构成等比构成等比数列数列,所以所以(a1a2a3)(a7a8a9)=(a4a5a6)2,(2)在等比数列在等比数列an中中,因为因为a2,a16是方程是方程x2+6x+2=0的两个根的两个根,所以所以a2a16=2.二二 灵活灵活设元求解等比数列元求解等比数列问题典例剖析典例剖析2.有四个数有四个数,其中前三个数成等差数列其
7、中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的第二个数与第三个数的和是和是12,求这四个数求这四个数.当当a=4,d=4时时,所求的四个数为所求的四个数为0,4,8,16;当当a=9,d=-6时时,所求的四个数为所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为故所求的四个数为0,4,8,16或或15,9,3,1.当当a=8,q=2时时,所求的四个数为所求的四个数为0,4,8,16;当当a=3,q=时时,所求的四个数为所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为故所求的四个数为0,4,8,16或或
8、15,9,3,1.规律总结规律总结 几几个数成等比数列的个数成等比数列的设法设法(3)四个数成等比数列四个数成等比数列,不能确定它们的符号相同时不能确定它们的符号相同时,可设为可设为a,aq,aq2,aq3.学以致用学以致用2.(1)若有四个数成等比数列若有四个数成等比数列,将这四个数分别减去将这四个数分别减去1,1,4,13后后成等差数列成等差数列,则这四个数的和是则这四个数的和是.答案答案:45解析解析:设这四个数分别为设这四个数分别为a,aq,aq2,aq3,则则a-1,aq-1,aq2-4,aq3-13成成等差数列等差数列,因此这四个数分别是因此这四个数分别是3,6,12,24,其和为
9、其和为45.(2)有四个实数有四个实数,前三个数成等比数列前三个数成等比数列,且它们的乘积为且它们的乘积为216,后后三个数成等差数列三个数成等差数列,且它们之和为且它们之和为12,求这四个数求这四个数.故所求的四个数为故所求的四个数为9,6,4,2.(方法二方法二)设后三个数为设后三个数为a-d,a,a+d,则则a-d+a+a+d=12,解得解得a=4,故所求的四个数为故所求的四个数为9,6,4,2.三三 等比数列等比数列的的实际应用用典例剖析典例剖析3.某工厂今年某工厂今年1月的生产总值为月的生产总值为a万元万元,如果计划从今年如果计划从今年2月月起起,每月生产总值比上一个月增长每月生产总
10、值比上一个月增长m%,那么到明年那么到明年8月底月底,该厂该厂的月生产总值为多少万元的月生产总值为多少万元?解解:设从今年设从今年1月开始月开始,第第n个月该厂的生产总值是个月该厂的生产总值是an万元万元,即数列即数列an是首项是首项a1=a,公比公比q=1+m%的等比数列的等比数列,故故an=a(1+m%)n-1,故明年故明年8月底该厂的生产总值月底该厂的生产总值为为a20=a(1+m%)20-1=a(1+m%)19(万元万元).规律总结规律总结 数列数列应用题常与现实生活和生产实际中的具体应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系事件相联系,建立数学模型是解决这类问题的核心建立数学模型
11、是解决这类问题的核心,常用的方常用的方法有法有:(1)构造等差数列、等比数列模型构造等差数列、等比数列模型,用数列的通项公式或前用数列的通项公式或前n项和公式求解项和公式求解;(2)通过归纳得到结论通过归纳得到结论,用数列知识求解用数列知识求解.学以致用学以致用3.某人购买了一辆价值某人购买了一辆价值13.5万元的新车万元的新车,根据二手车市场情根据二手车市场情况预测这种车每年按况预测这种车每年按10%的速度折旧的速度折旧.(1)用一个式子表示用一个式子表示n(nN*)年后这辆车的价值年后这辆车的价值.(2)若他打算用满若他打算用满4年时卖掉这辆车年时卖掉这辆车,则他大概能卖得多少钱则他大概能
12、卖得多少钱?解解:(1)n年后车的价值年后车的价值(单位单位:万元万元)依次设为依次设为a1,a2,a3,an,由由题意题意,得得a1=13.5(1-10%),a2=13.5(1-10%)2,由等比数列的定义由等比数列的定义,知数列知数列an是等比数列是等比数列,故故n年后车的价值为年后车的价值为an=13.50.9n万元万元.(2)由由(1)得得a4=13.50.948.9(万元万元),故用满故用满4年时卖掉这辆车年时卖掉这辆车,大概能卖得大概能卖得8.9万元万元.随堂训练答案答案:C 2.已知等比数列已知等比数列an共有共有10项项,其中奇数项之积为其中奇数项之积为2,偶数项之偶数项之积为积为64,则其公比是则其公比是()答案答案:C解析解析:设等比数列设等比数列an的公比为的公比为q,由奇数项之积为由奇数项之积为2,偶数项之偶数项之积为积为64,得得a1a3a5a7a9=2,a2a4a6a8a10=64,3.已知各项均为正数的等比数列已知各项均为正数的等比数列an中中,lg(a3a8a13)=6,则则a1a15的值为的值为()A.100B.-100C.10 000D.-10 000答案答案:C答案答案:B
