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1、初中数学尺规作图专题讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条： 经过两已知点可以画一条直线； 已知圆心和半径可以作一圆； 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就
2、叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是： 三等分角问题：三等分一个任意角； 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明是一个超越数（即是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号(即当圆半径时所求正方形的边长）不可能用尺规作
3、出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题： 正多边形作法 只使用直尺和圆规，作正五边形. 只使用直尺和圆规，作正六边形. 只使用直尺和圆规，作正七边形这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直
4、尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的. 问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题. 四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分这个问题传言是拿破仑波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图，已知两点、，找出一点使得.3.已知两点、，只用半径固定的圆规，求作使是线段的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表
5、达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分线 4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法： 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的
6、位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇、的距离必须相等，到两条高速公路、的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点应满足两个条件，一是在线段的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点应是它们的交点.【解析】 作两条公路夹角的平分线或； 作线
7、段的垂直平分线；则射线，与直线的交点，就是发射塔的位置.【例2】 在平面直角坐标系中，点的坐标是，是坐标原点，在直线上求一点，使是等腰三角形，这样的点有几个？【解析】 首先要清楚点需满足两个条件，一是点在上；二是必须是等腰三角形.其次，寻找点要分情况讨论，也就是当时，以点为圆心，为半径画圆，与直线有两个点、；当时，以点为圆心，为半径画圆，与直线无交点；当时，作的垂直平分线，与直线有一交点，所以总计这样的点有3个.【例3】 设与相离，半径分别为与，求作半径为的圆，使其与及外切.【分析】 设是符合条件的圆，即其半径为，并与及外切，显然，点是由两个轨迹确定的，即点既在以为圆心以为半径的圆上，又在以为
8、圆心以为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若与相距为，当时，该题无解，当有唯一解；当时，有两解.【解析】 以当与相距为，时为例： 作线段，. 分别以，为圆心，以，为半径作圆，两圆交于两点. 连接，分别交以为半径的于、两点. 分别以为圆心，以为半径作圆.即为所求.【思考】若将例3改为：“设与相离，半径分别为与，求作半径为的圆，使其与 内切，与外切.”又该怎么作图？ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】 设半
9、径为.可算出其内接正方形边长为，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度.六等分圆周时会出现一个的长度.设法构造斜边为，一直角边为的直角三角形，的长度自然就出来了.【解析】 具体做法： 随便画一个圆.设半径为1. 先六等分圆周.这时隔了一个等分点的两个等分点距离为. 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2，腰为的等腰三角形.可算出顶点距圆心距离就是.） 以的长度等分圆周就可以啦！【例5】 求作一正方形，使其面积等于已知的面积.【分析】 设的底边长为，高为，
10、关键是在于求出正方形的边长，使得，所以是与的比例中项.【解析】 已知：在中，底边长为，这个底边上的高为，求作：正方形，使得：作法： 作线段； 在的延长线上取一点，使得； 取中点，以为圆心，为半径作； 过作，交于， 以为一边作正方形.正方形即为所求.【例6】 在已知直线上求作一点，使得过作已知半径为的的切线，其切线长为.【分析】 先利用代数方法求出点与圆心的距离，再以为圆心，为半径作圆，此圆与直线的交点即为所求.【解析】 作，使得：，. 以为圆心，为半径作圆.若此圆与直线相交，此时有两个交点，.，即为所求.若此圆与直线相切，此时只有一个交点.即为所求.若此圆与直线相离，此时无交点.即不存在这样的
11、点使得过作已知半径为的的切线，其切线长为. 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例7】 已知：直线、，且.求作：正，使得、三点分别在直线、上.【分析】 假设是正三角形，且顶点、三点分别在直线、上.作于，将绕点逆时针旋转后，置于的位置，此时点的位置可以确定.从而点也可以确定.再作，点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法： 在直线上取一点，过作于点； 以为一边作正三角形； 过作，交直线于； 以为圆心，为半径作弧，交于(使与在异侧). 连接、得.即为所求.【例8】 已知：如图，为角平分线上一点
12、.求作：，使得，且在上，在上.【解析】 过作于. 过作直线; 在直线上取一点，使得(或)； 过(或)作（或），交于(或)点； 连接(或)，过作(或)交于（或）点.连接(或).则(或)即为所求. 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例9】 已知：一锐角.求作:一正方形，使得、在边上，在边上，在边上.【分析】 先放弃一个顶点在边上的条件，作出与正方形位似的正方形，然后利用位似变换将正方形放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形.【解析】 作法： 在
13、边上任取一点，过作于 以为一边作正方形，且使在的延长线上. 作直线交于. 过分别作交于；作交于. 过作交于.则四边形即为所求. 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】 如图，过的底边上一定点，求作一直线，使其平分的面积.【分析】 因为中线平分的面积，所以首先作中线，假设平分的面积，在中先割去，再补上.只要，则和就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以就平分了的面积.【解析】 作法： 取中点，连接; 过作交于； 过、作直线.直线即为所求.【例11】 如图：五边形可以看
14、成是由一个直角梯形和一个矩形构成. 请你作一条直线，使直线平分五边形的面积； 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.【解析】 取梯形的中位线的中点，再取矩形对角线的交点，则经过点，的直线即为所求； 这样的直线有无数条.设中的直线交于，交于，过线段中点，且与线段、均有交点的直线均可平分五边形的面积.【例12】 (江苏连云港)如图，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线 研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点(如图)，则直线是的黄金分割线你认为对吗？为什么？ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ 研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点，再过点作直线，交于点，连接(如图)，则直线也是的黄金分割线请你说明理由 如图，点是的边的黄金分割点，过点作，交于点，显然直线是的黄金分割线请你画一条的黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点ACB图1ADB图2CADB图3CFEFCBDEA图4 【解析】 直线是的黄金分割线理由如下：设的边上的高为，又点为边的黄金分割点，直线是的黄金分割线 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时
