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1、双曲线常见错误举例双曲线方程是圆锥曲线中的重要曲线之一，由于它不同于椭圆方程，所以初学者在认识与应用双曲线方程，性质时，常会出现失误，现就同学们易出现的失误加以归纳剖析，以避免再出现类似错误。原因之一：迁移有误例1 已知双曲线x2-=1，问过点A(1,1)是否存在直线，使与双曲线交于P,Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由。错解：设符合题意的直线存在，并设P(x1,y1),Q(x2,y2). 若x1x2, 则直线的斜率k=2，符合条件的直线存在，其方程为：2x-y-1=0剖析：在上述解题的基础上，由得2x2-4x+3=0再由=-80,故所求直线不存在。点评：
2、中点弦问题的存在性，在椭圆内中点弦（过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点）一定存在，但在双曲线中则不能确定。原因之二：思维定势例2 设一动点P(x,y)到定直线x=3的距离与它到点F(4,0)的距离之比为，求动点P的轨迹方程。错解：由题设e=2，所以动点P的轨迹是双曲线，F(4,0)双曲线的一个焦点，x=3是相应于这个焦点的一条准线，由=3及c=4得a2=12，b2=4,动点P的轨迹方程为.剖析：本题错误地把非标准位置当成标准位置，简单套用了标准方程，忽视了对双曲线中心位置的判断。而仅由焦点F(4,0)和准线x=3（即定直线），并不能推出c=4及=3的结论。正解：设双曲线上任一
3、点P(x,y)，由定义得:化简得：3x2-16x-y2+20=0即,所求动点的轨迹方程是：原因之三：思路不畅例3 过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的弦AB求（1）|AB|；(2)F2AB的周长（F2为双曲线的右焦点）。错解：由题意知a=1,b=,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),又直线AB方程为y=x+2,且A(x1,y1),B(x2,y2),如图1。由得2x2-4x-7=0, x1+x2=2,x1x2=-.(1)|AB|=(2)由双曲线的第一定义： |AF2|-|AF1|=2,|BF2|-|BF1|=2,两式相加得：|AF2|+|BF2|=4+|AF1|+|BF1|=4+|AB|=10F2AB的周长是|AB|+|AF2|+|BF2|=16.剖析：由于思路不畅，误认为弦AB在双曲线的一支上，实际上由x1x2=-0知，A,B两点不在同一支上，也可根据双曲线的渐近线的斜率为,而直线AB斜率为1,故直线AB也应与左，右两支均相交。正解：（2）x1x2=-0知，弦AB与双曲线左，右两支均相交，如图2，由焦半径公式得：|AF2|=-(ex1-a)=a-ex1=1-2x1, |BF2|=ex2-a=2x2-1,|AF2|+|BF2|=1-2x1+2x2-1=2(x2-x1)=2,F2AB的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=6+6
