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1、数学建模学案（1）主讲：王瑞丁绪论 一提起数学竞赛，人们脑海里就会浮想起这样的场面：考场里鸦雀无声，监考老师警惕的目光扫视全场。年轻的数学尖子们坐在各自的书桌前，时而冥思苦想，时而奋笔疾书，希望能找到那一道道数学难题的正确答案。而那正确答案早已经由出题的专家们做出来，正锁在某个保险柜里。数学建模竞赛，或称数学模型竞赛，是不是也是这样的场面呢？一 相关概念：1模型我们常见的模型有：玩具、照片、飞机、火箭模型。实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机。物理模型地图、电路图、分子结构图。符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需要的那一部
2、分特征你碰到过的数学模型“航行问题”甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?解：用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程： 航行问题建立数学模型的基本步骤： 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。2数学模型 (Mathematical Model) 和数学建模（Mathematical Modeling)数学模型：对于一个现实对象，为
3、了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模：建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）3数学建模教学与数学建模竞赛数学模型课：二十世纪七十年代国外开始开设，二十世纪八十年代我国各高校相继开设，二十世纪九十年代我国各中学相继开设，以北京上海开设的影响最大。4数学建模竞赛：大学：美国-1985年开始,每年一次,每年2月；中国-1992年开始,每年一次,每年九月竞赛内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化而成，没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。竞赛形式：三名大学生组成一队，可以自由地收集资
4、料、调查研究，使用计算机、互联网和任何软件，在三天时间内分工合作完成一篇论文。评奖标准：假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性、文字表述的清晰程度。竞赛宗旨：创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争高中：北京市自1993年起开展”方正杯”数学知识应用竞赛,上海也于1997年开展”金桥”杯数学应用知识竞赛（即中学数学建模竞赛，北京上海两地吸收外地选手参赛）。我国其他一些省份也陆续开展中学数学建模竞赛。竞赛形式（以北京为例）：竞赛分初赛和决赛两步,初赛采用开卷方法,即以散发试卷和在报纸杂志上刊载试题相结合的办法开卷征答,限期收卷.学生答卷地点不限，可以参考任何资料，可以使用任何计算工具，但要求学生
5、独立完成，倡导诚信。决赛分两部分，一是让学生完成一篇数学应用的小论文，论文成绩作为总成绩的一部分，并单独设立优秀论文奖。决赛的第二部分是闭卷答题，要求独立完成问卷中的问题。5数学建模的重要意义：20世纪，特别是二次世界大战以后，随着电子计算机的飞速发展；数学取得了巨大的发展，应用数学和数学应用取得了巨大成功，数学几乎渗透到社会的每一个领域和学科，发挥了实质性的作用，高科技本质上就是数学技术（David。曾任美国总统顾问）数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；数学进入一些新领域，为
6、数学建模开辟了许多 新天地。数学建模竞赛培养学生创新精神，提高学生综合素质；运用学过的数学知识和计算机（包括选择合适的数学软件）分析和解决实际问题的能力；面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和独立进行研究的能力；关心、投身国家经济建设的意识和理论联系实际的学风；团结合作精神和进行协调的组织能力；勇于参与的竞争意识和不怕困难、奋力攻关的顽强意志；查阅文献、收集资料及撰写科技论文的文字表达能力实际情境提出问题数学模型数学结果可用结果检验不合乎实际合乎实际修改6数学建模的一般步骤：模型假设；根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。模型建立 ：在假设的基
7、础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）模型求解 ：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。模型分析 ：对所得的结果进行数学上的分析。模型检验 ：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，在次重复建模过程。模型应用 ：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。具体地说，数学建模这一过程可用下面框图来表示：二建模示例生活中的趣味建模1女孩子都爱美，你知道你穿多高跟的鞋子，看起来最美吗？设某女孩下肢
8、躯干部分长为厘米，身高为厘米，鞋跟高厘米，我们知道黄金分割0.618，当人下肢与身高比为0.618时应该看起来最美，即，则， 由此模型，可计算出任何一个女孩子应该穿多高的鞋子。 以身高168厘米，下肢长为102厘米的人为例，所穿鞋子高度，与好看程度的关系可由下表说明： 原比（/)身高（cm）高跟鞋高度新比值0.60711682.50.61290.60711683.550.61510.60711684.50.61730.60711684.77480.618又如，按照上述模型，身高153厘米，下肢长为92厘米的女士，应穿6.6厘米的高跟鞋显得比较美。由此看来，女孩子们爱穿高跟鞋是有科学根据的，也使
9、人联想起为什么人们观看芭蕾舞表演时有一种美的感受（演员把脚尖抵起来相当于穿高跟鞋），可是当你看踩高跷表演时没有这种感觉。探究活动：你能举出生活中黄金分割的例子吗？2吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数学的角度解释这一现象吗?解:可设:，即当空气容量从增加时，半径增加了 气球平均膨胀率：当空气容量从加时，半径增加了 气球平均膨胀率：可以看出，随着气球体积变大，它的平均膨胀率变小 思考：当空气容量从V1增加到V2 时,气球的平均膨胀率是多少呢?你还能建立其他模型来解释这一现象吗？能用我们的分析来解释与之类似的现象吗？3你能完成的数学建模：下表是“全球通”移动
10、电话的几种不同收费方案：方案代号月租费元免费时间分超过免费时间的通话费元分0 50 0 0401 30 48 0602 98 170 0603 168 330 0504 268 600 0455 388 1000 0401）分别写出方案0、3、5中月话费（月租费与通话费的总和）y（元）与通话时间x（分）的函数关系式；（2）如果月通话时间为300分钟左右，选择哪个方案最省钱？（3）通过图象比较方案0、1、2和3，由此你对选择方案有什么建议？活动设计意图：通过这一活动，让学生掌握在解决实际问题中的决策性问题的方法根据实际情况选择方案活动过程及结论：据题意可知：月话费y（元）与通话时间x（分）的函数
11、关系分别是：0方案：y=0.40x+503方案：y=168 （0330）5方案：y=388 （01000）如果月通话时间为300分钟的话，0方案话费为：170元，1方案话费为：181.2元，2方案话费为：176元，3方案话费为：168元故选择3方案最省钱根据题意画出0、1、2、3方案图象如下：由图象可以清楚看出：如果每月通话时间不超过161分钟的话，应选择1号方案省钱如果每月通话时间超过161分钟而小于287分钟的话，应选择2号方案省钱如果每月通话时间超过287分钟而小于470分钟的话，应选择3号方案省钱如果每月通话时间大于470分钟的话，应选择0号方案省钱原因是：当0x161时，1号图象在最下方当161x287时，2号图象在最下方当287x470时，0号图象在最下方 三课堂活动和学生玩二分法猜数游戏，体会二分法模型田忌赛马，鸡兔同笼，百钱百鸡 天平测球四怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术，技术大致有章可循，艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力 洞察力 判断力 永葆对生活的热爱和激情。学习、分析、评价、改进别人作过的模型五课后探究请同学们课后总结一下我们所学过的数学模型，看哪组总结得多！ 1
