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1、 学习数学，领悟数学，秒杀数学。 第三章 解三角形 秒杀秘籍：一板斧射影定理在中，求证：，.证明： 在中，由，得.所以.设的外接圆半径为R，由正弦定理得，即.同理可证，. 图1 图2 图3几何解释：（1）当为直角三角形时（如图1），不妨设角B为直角，由直角三角形的边角关系得，又，所以.（2） 当为锐角三角形时（如图2）过点A作ADBC,垂足为D.由直角三角形的边角关系得，所以.（3） 当为钝角三角形时（如图3），不妨设角B为钝角，过点A作ADBC，交CB的延长线于点D，由直角三角形边角关系得，所以，专题1 解三角形之三板斧【例1】（2013陕西）设，则的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角
2、三角形D不确定【解析】的内角A，B，C所对的边分别为，则由正弦定理可得 ，即 ，可得，故，故三角形为直角三角形，故选B由于是选填，此题可以直接利用射影定理，会更快.【例2】（2008山东）的内角、所对的边分别为、，向量，若，且，则角A、B的大小分别为（ ）A， B， C， D，【解析】.，故. 秒杀秘籍：二板斧之灵动面积周长公式1余弦定理推导式：，（把当做一个整体）2面积公式推导式：公式一：.公式二：.（椭圆灵动焦点三角形面积公式）同理，代入公式三：.（双曲线灵动焦点三角形面积公式）【例3】（2013辽宁）在，内角，所对的边长分别为，且，则（ ）A BCD【解析】，故选【例4】（2017浙江模
3、拟）在中，已知三边a、b、c满足，则C等于 【解析】，故，【例5】（2010辽宁卷）在中，分别为内角，的对边，且（1） 求的大小；（2） 求的最大值【解析】根据正弦定理得，即，故 故当时，取得最大值1.【例6】（2011新课标）在中，则的最大值为 【解析】，（其中，所以的最大值为故答案为.注意：此题属于万能辅助角模型题，通常只需要用到即可 秒杀秘籍：万能辅助角公式已知三角形的一个内角C，求或者公式四：，证明： 故：，其中，故，注意的情况.【例7】（2004贵州卷）中，a、b、c分别为A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，B=30，的面积为，那么b等于 【解析】法一（传统解法）：a、b、c
4、成等差数列，；故根据余弦定理法二（利用灵动椭圆面积公式）：【例8】（2010浙江卷）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为的面积，满足（1）求角的大小；（2）求的最大值【解析】（1），；（2），当，取得最大值【例9】（2007全国卷）在中，已知内角，边.设内角，面积为.（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值.【解析】，根据面积公式，；当时，取得最大值【例10】（2019佛山质检）在中，角所对的边分别是，且，.当变化时，存在最大值，则正数的取值范围是 【解析】根据万能辅助角公式， 秒杀秘籍：定比分线为定值的万能辅助角模型倍长定比分线，构造三角形用万能辅助角，如图，若在边上，且
5、满足，则延长至,使，连接，易知，且，则关于来解决求最大值，或者求值问题；由于，根据万能辅助角公式可得：（只是模型，无需记忆此公式）请大家思考，如果是呢？答案是，其中，由于，故，根据题意有【例11】（2018景德镇期中）在中，是上一点，且，则的值为（ ）A B C D【解析】如图所示，作延长线，使，显然，,故根据余弦定理，可知，故，故选B. 例11题图 例12题图【例12】（2019石家庄模拟）在中，、分别是角、的对边，若，且，则的最大值是 【解析】根据射影定理可得：，过作的平行线，交延长线于，且，在中，根据万能辅助角，当时等号成立，故答案为. 秒杀秘籍：三板斧之米勒定理米勒定理：已知点，是的边
6、上的两个定点，点是边上的一动点，则当且仅当三角形的外接圆与边相切于点时，最大证明：如图，设是边上不同于点的任意一点，连结，交圆于点,因为是圆外角，是圆周角，易证,故最大根据切割线定理得，即，于是我们有：最大等价于三角形的外接圆与边相切于点等价于【例13】（1986高考）如图，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上给定两定点A、B，试在轴的正半轴上求一点C，使取得最大值【解析】设点的坐标为，点的坐标为，又设所求点的坐标为则，因此，当且仅当 时等号成立.因为在内是增函数，所以当时，取最大值，故所求点的坐标为 如运用米勒定理则可知当且仅当过点的圆与轴的正半轴相切于点时，即当时，最大，故点的坐标为 例13
7、题图 例14题图 例15题图【例14】如图，足球场长100米，宽60米，球门长7.2米，有一位左边锋欲射门，应在边的何处才使射门角度最大？ 【解析】运用米勒定理则可知当且仅当过点，的圆与相切于点时，即当 时，最大【例15】（2004全国试题）在直角坐标系中，给定两点，在轴的正半轴上求一点，使最大，则点的坐标为 【解析】设直线与轴交于点，根据米勒定理可知，当且仅当过点的圆与轴相切于点时，即当时，最大，的直线方程易求得是，的坐标是，故点P坐标为（1，0）【例16】（2005浙江文）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴的长为4，左准线与轴的交点为，（1）求椭圆的方程；（2）若点在直线上运
8、动，求的最大值【解析】（1）设椭圆方程为，半焦距为，则，由题意，得，故椭圆方程为（2）法一：设，设直线的斜率，直线的斜率，为锐角，当，即时，取到最大值，此时最大，故的最大值为法二：由米勒定理可得：当取得最大值时， 同步达标训练1（2017新课标）的内角A，B，C的对边分别为，若，则 2.（2014广东）在中， 角A，B，C所对应的边分别为，已知，则 3（2016四川）在中， 角A，B，C所对的边分别是，且（1） 证明：；（2） 若，求4（2016新课标）的内角A，B，C的对边分别为，已知（1） 求；（2） 若，的面积为，求的周长 5（2012新课标）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边
9、，（1）求；（2）若，的面积为；求，6（2011江西）在中，角A，B，C的对边是，已知（1） 求的值；（2） 若，求边的值 7（2011山东）已知在中，内角A，B，C的对边分别为，且（1）求的值；（2）若，求的面积8.（2018新课标）的内角A，B，C的对边分别为， 若，则（ ） A BCD9（2014江西）在中，内角A，B，C的对边分别为，若，则的面积为（ ）A BCD10.（2011重庆）的角A，B，C所对的边，满足，且，则的值为（ ）A BCD11.（2018石家庄模拟）在中，则的最大值为（ ）A BCD12.（2012湖北）设的内角A，B，C，所对的边分别是，若，则角 13.（2018
10、北京）若的面积为，且为钝角， 则 ；的取值范围是 14.（2015天津）在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知的面积为，则的值为 15.（2014江苏）若的内角满足，则的最小值是 16.（2018沈阳期中）在中， 设角A，B，C所对的边分别为，若，则的取值范围是 17（2018重庆期末）设的内角A，B，C所对的边分别为，已知，则的最大值为 18（2018道里一模）钝角中， 若，则的最大值为 19（2018常州期末）在中，已知，点满足，且，则边的长为 20（2019衡水金卷）在中，在边上，若，的中点，且，则的最大值是 21.（2017新课标）的内角，的对边分别为，已知（1）求；（2）若，的面积
11、为2，求22（2016北京）在中，（1）求的大小；（2）求的最大值23（2013江西）在中， 角，所对的边分别为，已知（1） 求角的大小；（2） 若，求的取值范围24（2013新课标）在内角，的对边分别为，已知（1）求；（2）若，求面积的最大值25.（2018铜山期中）已知、分别是的内角，对的边，（1） 若，的面积为，求；（2） 若，求的取值范围 26设的内角，所对的边分别为，若，（1）求角的大小；（2）求的最大值27.（2019泉州一模）的内角，的对边分别为，已知，（1）证明：为等腰三角形；（2）点在边上，求28.（2018商丘期末）在中，内角、的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若点满足，且，求的取值范围29（2010江苏）某兴趣小组测量电视塔的高度（单位：，如示意图，垂直放置的标杆的高度，仰角，（1）该小组已经测得一组、的值，请据此算出的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：，使与之差较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为，试问为多少时，最大？
