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1、第五章 波函数与薛定谔方程5 - 1 波函数的统计诠释一 概率波（1） 电子双缝衍射和概率波 ( a )( b ) 图5 - 1 光( a )和电子( b )的双缝衍射图样 入射电子流的强度很大，即单位时间内有许多电子通过双缝，则底片上很快就出现了图5- 1 ( b )所给出的衍射图样。 单个电子就具有波动性：即使入射电子流极其微弱，以致电子几乎是单个地通过双缝，短时间内底片上记录下来的只是一些分布不规律的点子，但是只要时间足够长，底片上仍将呈现出有规律的衍射图样，即单个电子就具有波动性。 实验上所显示出来的电子的波动性，是许多电子在同一个实验中的统计结果；or 是一个在许多次相同实验中的统计
2、结果。 实验的衍射图样代表了电子在空间r点附近出现的概率的大小，德布罗意波或薛定谔方程中的波函数正是为描写粒子的这种行为而引进的；是刻画粒子在空间概率分布的概率波。 在量子力学中，波函数是最重要的基本概念之一，它可以完全描述一个体系的量子态。 在经典物理学中并不存在与波函数对应的物理量。在经典概念下，当相干波源发出来的声波或光波在空间同一区域交叠时，所发生的是周期变化的实在物理量(如位移、压强或电场强度等)的叠加，在合成的强度分布中出现了在非相干叠加(即振幅的平方或强度叠加)时没有的干涉项，正是这一项决定了干涉和衍射现象的发生。( 2 ) 波函数的概率诠释设衍射波幅用描述，则衍射图样的强度分布
3、用的模方描述 (5. 1)其中：y*( r )是y ( r )的复共轭。衍射波强度 | y ( r ) |2是刻画电子出现在r点附近的概率大小的一个量，即 (5. 2)表示在r点处的体积元中找到粒子的概率。这就是波函数的概率诠释 量子力学的基本原理之一。结论：波函数y ( r )： 是刻画粒子在空间概率分布的概率波，称为概率波幅或概率幅。(r)= | y ( r ) |2：描写粒子在空间的概率密度分布，即在r点处附近单位体积元中找到粒子的概率。二 波函数的性质在一般情况下，y 作为可以接受的波函数，从物理上往往要求y 是有限、连续和单值的。( 1 ) 统计诠释对波函数提出的要求 在空间任何有限
4、体积元中找到粒子的概率为有限值。一般情况下，这意味着要求取有限值，但并不排除在空间某些孤立奇点处 . 例如，即使是的孤立奇点，V0是包围r0点在内的任何有限体积，则按统计诠释，只要有限值 (5. 3) 就是物理上可接受的，其中. 如取r0 = 0，V0是半径为r的小球，则式(5. 3)相当于要求：当r 0时， . (5. 4)如果在r 0时,波函数具有的形式，则要求. 波函数的归一化条件波函数y描述的粒子在空间各点的概率的总和为1 , (5. 5)这时的波函数为归一化的波函数。如果某波函数尚未归一化, 则有 , (5. 6)式中的称为波函数的归一化因子。 归一化的波函数对应的概率密度是相对概率
5、而非绝对概率，亦即在所指定空间区域观察到粒子的概率占全空间概率的分数。 波函数有一个常数因子的不确定性。重要的是相对概率分布。如果C是常数(可以是复数)，则y ( r )和Cy ( r )所描述的相对概率分布是完全相同的。因为在空间任意两点r1和r2处，总有 . (5. 7)这就是说，Cy ( r )与y ( r )所描写的是同一个概率波。在这一点上，概率波与经典波有着本质的差别。一个经典波的波幅若增大一倍，则相应的波的能量将为原来的四倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波根本谈不上归一化，而概率波却可以进行归一化。 波函数相位的不确定性如果y ( r )是归一化的波函数， y ( r ) y
6、 ( r ) （对于任意的实常数a） 单值 保证概率密度在任意时刻t都是确定的。( 2 ) 势场性质和边条件对波函数提出的要求具体的物理情况,对波函数y 提出要求：y 是连续的。例1、 波函数及其各阶导数的连续性问题在势场中运动的单粒子所遵从的薛定谔方程为.(一维)在一维情况下，当势函数是x的连续函数时，按照薛定谔方程，波函数的二阶导数是存在的，这就要求波函数及其一阶导数是x的连续函数。即使是在有限的阶梯型方势场中，也可以证明，粒子的定态波函数及其一阶导数仍是x的连续函数。应该从薛定谔方程出发，根据势场的性质来决定波函数及其各阶导数的连续性问题。例2、波函数的束缚态边条件在金属和原子中的电子等
7、许多实际情况下，粒子的运动被限制在一定的空间范围内，或者说，粒子处于束缚态。对于束缚态就要求波函数y ( r )在无限远处的值必须趋于零，即满足束缚态边条件。总之，从物理上讲，态函数y ( r )应当是位置r的连续函数，否则就会在不连续点上发生解释上的不确定性。( 3 ) 初值条件和边界条件从物理上看，仅有运动方程还不足以确定物体的运动：运动方程起始状态+(通过边界所受到的)外界作用从数学角度看，一个微分方程有无穷多个解，表现在其通解中含有若干个任意常量或任意函数，而起始状态和边界情况等则是确定这些常量值或函数形式的初值条件和边界条件:通解 + 初值条件 + 边界条件量子力学的定解问题: 求一
8、个微分方程的解满足一定初值条件和边界条件的问题。三 概率的基本概念及运算( 1 ) 随机事件的概率概率:反映随机事件发生可能性的大小。当观测次数N趋于无穷时，事件A发生的概率 . (5. 8)( 2 ) 互斥事件概率的加法定理两个随机事件在一次观测中不可能同时发生设A和B是两个互斥事件，在N次观测中，事件A出现NA次，事件B出现NB次，则事件A或者事件B出现的概率为, (5. 9)即两个互斥事件中任意一个出现的概率等于两个事件出现的概率之和. 概率的归一化条件(全部互斥事件出现的概率为1) , (5.10)它表明，在一次观测中，全部互斥事件中总有一个是要发生的。( 3 ) 独立事件概率的乘法定
9、理设A和B是两个独立事件，在N次观测中，事件A出现NA次，事件B出现NB次，则事件A和事件B同时出现(记为A B )的概率. (5. 11)( 4 ) 随机变量的概率分布 统计平均值和涨落一个变量以一定的概率取各种可能值设离散型随机变量X的可能取值为，如果在N次同样的实验或观测中，测得随机变量X取上述各值的次数分别为，则随机变量X的统计平均值为. (5. 12)对于连续型的随机变量Y，其统计平均值为, (5. 13)上述积分遍及Y的取值范围。随机变量X的涨落或均方偏差(为了描述随机变量X在其统计平均值上下起伏的平均幅度) (5. 14)5 - 2 力学量的统计不确定性一 不确定性原理海森伯提出
10、的不确定性原理（uncertainty principle）：如果测量一个粒子的位置的不确定范围是Dx，则同时测量其动量也有一个不确定范围Dpx，两者的乘积不可能小于，即 . (5. 15)为不确定关系(uncertainty relation)。 电子和其他物质粒子的衍射实验已经表明，粒子束所通过的圆孔或单缝越窄小，则所产生的衍射图样的中心极大区就越大。说明：测量粒子的位置的精确度越高，测量粒子的动量的精确度就越低。 一维自由空间中运动的粒子，如果具有完全确定的动量px (即平面波)，则在任意给定的时刻t，粒子在空间的每一点x上的概率密度都相同。说明： 如果粒子的动量px完全确定，它的位置x
11、就完全不确定。 比较：在经典力学中，一个粒子的位置和动量是可以同时确定的，而且一旦知道了某一时刻粒子的位置和动量，则在一般情况下，任意时刻粒子的位置和动量原则上都可以精确地预言。不确定关系(uncertainty relation)对能量和时间：体系处于某一状态，如果时间有一段Dt不确定，则能量也有一个DE不确定。有关系 . (5. 16) 粒子的平均寿命： 一个粒子在能量状态E附近的停留时间Dt 粒子的能级宽度： 在Dt时间内粒子的能量状态不完全确定，它有一个弥散DE 只有当粒子的停留时间为无限长时，该粒子的能量状态才是完全确定的，即只有当时，才有. 量子力学对认识论的启示：不可能做具有绝对
12、确定性的断言，而只能做具有某种可能性的断言。对于微观粒子，我们只能给出在空间一定范围内找到粒子的概率，而不能确定哪一个粒子一定在什么地方。二 动量分布概率( 1 ) 动量空间中的波函数 经典力学描述物质运动状态的力学量：坐标、动量、角动量、动能和势能。决定论的方式起作用。 量子力学波函数y以概率论的方式描述微观粒子的运动状态。尽管波函数本身不是力学量，但各种力学量的取值及其变化却取决于波函数。例、If y （一单色平面波），该粒子在空间各处的概率密度| y ( r ) |2 |C |2，相应的粒子动量（确定）.例、 在一般情况下，波函数y是一个由许多单色平面波叠加而成的波包，相应的动量也有一个
13、分布。可将y ( r )作傅里叶展开，其正、逆变换式分别为：, (5. 17), (5. 18)其中：； 波函数按平面波展开的波幅；中含有平面波的份额，i.e.,粒子处在平面波态的概率（或者说粒子动量p的概率）与成比例; = 粒子动量在范围的概率. 和是一个量子态在不同表象中的表示(和是同一个量子态的两种不同描述方式)一旦给定，就完全确定了，反之亦然。( 2 ) 狄拉克 d 分布函数 (5. 19). (5. 20)例1、 长为l的细杆，质量为1. 设密度均匀，即 Let but keep mass =constant: d 函数的性质是很奇妙的，这不是传统数学中的函数。d 函数描述的是一种理想的分布-点模型，数学上的简单性导致了它在物理上的广泛应用。两个性质：1 ) 对于任意的连续函数f ( x )，有 , (5. 21)证：因为。 证毕。2 ) 在三维情况下，有 . (5. 22)( 3 ) 动量空间中的波函数的归一化式 的复共轭表达式. (5. 23) 的模方为.的模方在动量空间中积分 . 有 (using ) （using ） . 只要y ( r )是归一化的，由其傅立叶逆变换得出的j ( p )也归一化. (5. 24)波函数y ( r )：
