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1、第3课时用向量方法求空间中的角课时过关能力提升基础巩固1若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120,则直线l与平面所成的角等于()A.120B.60C.30D.以上均错解析:l的方向向量与平面的法向量的夹角为120,它们所在直线的夹角为60.则直线l与平面所成的角为90-60=30.答案:C2在二面角-l-中,若平面的一个法向量为n1=32,-12,-2,平面的一个法向量为n2=0,12,2,则二面角-l-的大小等于()A.120B.150C.30或150D.60或120解析:设所求二面角的大小为,则|cos |=|n1n2|n1|n2|=32,所以=30或150.答案:C3若平面的一个
2、法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(-2,-3,3),则l与所成角的余弦值为 ()A.-1111B.1111C.-11011D.91333解析:cos=(-2,-3,3)(4,1,1)4+9+916+1+1=-4311=-41133,故l与所成角的余弦值为1-411332=91333.答案:D4设四边形ABCD,ABEF都是边长为1的正方形,FA平面ABCD,则异面直线AC与BF所成的角等于()A.45B.30C.90D.60解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),F(0,0,1),B(0,1,0),C(1,1,0),AC=(1,1,0),BF=(0,-1,
3、1).ACBF=-1.设异面直线AC与BF所成的角为,cos =|cos|=12.又(0,90,=60.答案:D5已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.23B.33C.23D.13解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1=2AB=2,则B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,2),故DB=(1,1,0),DC1=(0,1,2),DC=(0,1,0).设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),则nDB=0,nDC1=0,即x+y=0,y+2z=0.令z=1,则y=-2,x=2,所以平面BDC1的一
4、个法向量为n=(2,-2,1).设直线CD与平面BDC1所成的角为,则sin =|cos|=|nDC|n|DC|=23.答案:A6在正四棱锥P-ABCD中,高为1,底面边长为2,E为BC的中点,则异面直线PE与DB所成的角为.解析:建立坐标系如图,则B(1,1,0),D(-1,-1,0),E(0,1,0),P(0,0,1),DB=(2,2,0),PE=(0,1,-1).cos=DBPE|DB|PE|=282=12.=3.PE与DB所成的角为3.答案:37在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BD1-B1的大小为.解析:如图,以点C为原点建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为a,则A(a
5、,a,0),B(a,0,0),D1(0,a,a),B1(a,0,a),BA=(0,a,0),BD1=(-a,a,a),BB1=(0,0,a).设平面ABD1的法向量为n=(x,y,z),则nBA=(x,y,z)(0,a,0)=ay=0,nBD1=(x,y,z)(-a,a,a)=-ax+ay+az=0.a0,y=0,x=z.令x=z=1,则n=(1,0,1),同理,求得平面B1BD1的法向量m=(1,1,0),cos=nm|n|m|=12,=60.而二面角A-BD1-B1为钝角,故为120.答案:1208如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB上的动点
6、.若异面直线AD1与EC所成角为60,试确定此时动点E的位置.解:以DA所在直线为x轴,以DC所在直线为y轴,以DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系.设E(1,t,0)(0t2),则A(1,0,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0),D1A=(1,0,-1),CE=(1,t-2,0),根据数量积的定义及已知得:1+0(t-2)+0=21+(t-2)2cos 60,所以t=1.所以点E的位置是AB的中点.9如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,ABC=BAD=2,PA=AD=2,AB=BC=1.求平面PAB与平面PCD所成二面角
7、的余弦值.解:以AB,AD,AP为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因为AD平面PAB,所以AD是平面PAB的一个法向量,AD=(0,2,0).因为PC=(1,1,-2),PD=(0,2,-2).设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),则mPC=0,mPD=0,即x+y-2z=0,2y-2z=0.令y=1,解得z=1,x=1.所以m=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量.从而cos=ADm|AD|m|=33,所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为33.能力提升1已知E,F分别是棱长为1
8、的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是()A.23B.23C.53D.233解析:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A(1,0,0),E12,1,0,F0,1,12,D1(0,0,1),AD1=(-1,0,1),AE=-12,1,0.设平面AEFD1的法向量为n=(x,y,z),则nAD1=0,nAE=0-x+z=0,-x2+y=0,x=2y=z.取y=1,则n=(2,1,2),而平面ABCD的一个法向量为u=(0,0,1),cos=23,sin=53.答案:
9、C2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是()A.32B.1010C.35D.25解析:如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),M1,12,1,C(0,1,0),N1,1,12,AM=0,12,1,CN=1,0,12.AMCN=12,|AM|=|CN|=52.cos=125252=25.答案:D3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若EFAC,EFA1D,则EF与BD1所成的角是()A.90B.60C.30D.0解析:如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为a,则A1(a,0,a),D(0,0,
10、0),A(a,0,0),C(0,a,0),B(a,a,0),D1(0,0,a),DA1=(a,0,a),AC=(-a,a,0),BD1=(-a,-a,a).EFAC,EFA1D,设EF=(x,y,z),EFDA1=(x,y,z)(a,0,a)=ax+az=0,EFAC=(x,y,z)(-a,a,0)=-ax+ay=0.a0,x=y=-z(x0).EF=(x,x,-x).BD1=-axEF.BD1EF,即BD1EF.故EF与BD1所成的角是0.答案:D4二面角-l-内有一点P,若点P到平面,的距离分别是5,8,且点P在平面,内的射影间的距离为7,则二面角的度数是()A.30B.60C.120D.
11、150解析:如图,PA,PB,ADB为二面角-l-的平面角.由题意知PA=5,PB=8,AB=7,由余弦定理,可得cos APB=52+82-72258=12,则APB=60,故ADB=120.答案:C5在长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成的角分别为60和45,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为.解析:建立如图的空间直角坐标系,可知CB1C1=60,DC1D1=45.设B1C1=1,则CC1=3=DD1.C1D1=3,则有B1(3,0,0),C(3,1,3),C1(3,1,0),D(0,1,3).B1C=(0,1,3),C1D=(-3,0,3).cos=B1CC
12、1D|B1C|C1D|=326=64.答案:646如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=BC,且BAC=2,则PA与底面ABC所成角的大小为_.解析:如图所示,PA=PB=PC,P在底面上的射影O是ABC的外心.又BAC=2,O在BC上且为BC的中点.AO为PA在底面上的射影,PAO即为所求的角.在PAO中,PO=32PB=32PA,sinPAO=POPA=32.PAO=3.答案:37在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,则B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),D(0,0,0)
13、.BC1=(-1,0,1),A1D=(-1,0,-1),BD=(-1,-1,0).设平面A1BD的一个法向量为n=(1,x,y),设BC1与平面A1BD所成的角为,nA1D,nBD,所以nA1D=0,nBD=0,所以-1-y=0,-1-x=0,解得x=-1,y=-1.所以n=(1,-1,-1),则cos=BC1n|BC1|n|=-63,所以sin =63.所以cos =1-632=33.答案:338如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,AA1=BC=2AC=2,D为AA1上一点.若二面角B1-DC-C1的大小为60,则AD的长为.解析:如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所
14、在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),B1(0,2,2).设AD=a,则点D的坐标为(1,0,a),CD=(1,0,a),CB1=(0,2,2).设平面B1CD的法向量为m=(x,y,z),则mCB1=0,mCD=02y+2z=0,x+az=0,令z=-1,得m=(a,1,-1).又平面C1DC的一个法向量为(0,1,0),记为n,则由cos 60=|mn|m|n|,得1a2+2=12,即a=2,故AD=2.答案:29如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,ABBC,求二面角B1-A1C-C1的大小.解:如图建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2).设AC的中点为M,连接BM.BMAC,BMCC1,B
