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1、1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积自主学习 学习目标1了解柱、锥、台、球的表面积的计算公式，并学会运用这些公式解决一些简单的问题2认清直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面展开图的特点，由此推导出侧面积公式 自学导引1棱柱、棱锥、棱台侧面积(1)设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则直棱柱侧面积计算公式：S直棱柱侧_，即直棱柱的侧面积等于它的_(2)设正n棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h，则正n棱锥的侧面积的计算公式：S正棱锥侧_，即正棱锥的侧面积等于它的_(3)设棱台下底面边长为a，底面周长为c，上底面边长为a，周长为c，斜高为h，则正n棱台的侧面积公式：S正棱台侧_.2棱柱、棱锥、棱
2、台和球的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于_(2)用球的半径R计算球表面积的公式：S球_，即球面面积等于它的_对点讲练知识点一直棱柱、正棱锥的表面积例1直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1，Q2，求直平行六面体的侧面积点评本题主要考查棱柱的结构特征，特别是直平行六面体，它的特点：底面是平行四边形且侧棱与底面垂直，对角面是矩形设边长后就可以转化为矩形内线段的研究在解方程组时注意运用整体代入的方法，充分运用式子的特征来解决问题变式训练1设正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，高为SO3.求此正三棱锥的全面积知识点二正棱台的表面积例2已知四棱台的上、下底面分别是边长为4 cm和
3、8 cm的正方形，侧面是腰长为8 cm的等腰梯形，求它的侧面积点评求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特殊直角梯形，它是架起求侧面积关系式中的未知量与满足题目条件中几何图形元素间的桥梁另外，“还台为锥”的思想在计算中也经常用到. 变式训练2已知正三棱台的底面边长分别是30 cm和20 cm，其侧面积等于两底面积的和，求棱台的高知识点三球的表面积公式的应用例3已知：圆柱的底面直径与高都等于球的直径求证：(1)球的表面积等于圆柱的侧面积；(2)球的表面积等于圆柱全面积的.点评球的体积和表面积只与半径有关，利用球与其他几何体的位置关系，灵活求解球的半径是关键变式训练3如图是一个几何体的三视图，根
4、据图中数据，可得该几何体的表面积是()A9B10C11D121柱、锥、台的侧面积公式是由侧面展开图得到的，不要死记公式，要根据展开图的特点进行计算2要注意三种几何体的侧面积公式之间的联系，S台侧(cc)hS锥侧ch,ccS柱侧ch.3计算侧面积时要注意从几何体的某一特殊位置截面中(如旋转体的轴截面)找到关键量，借助它们的数量关系解决问题另外，还要注意整体代换的思想方法的运用. 课时作业一、选择题1底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线为，体对角线为，则这个棱柱的侧面积是()A2 B4 C6 D82侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则该三棱锥的表面积是()A.a2 B.a2 C.a2 D
5、.a23两个球的表面积之差为48，它们的大圆周长之和为12，这两个球的半径之差为()A4 B3 C2 D14已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积S1与底面面积之和S2的大小关系为()AS1S2 BS1S2CS1S2 D以上都不是5正四棱锥的侧面积为60，高为4，则正四棱锥的底面边长为()A24 B20 C12 D6题号12345答案二、填空题6正六棱柱的高为5 cm，最长的对角线为13 cm，则它的侧面积为_7若一个直立圆柱的侧视图是面积为S的正方形，则该圆柱的表面积为_8长方体的体对角线长度是5，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是_三、解
6、答题9已知正三棱锥的底面三角形的边长为，侧棱与高的夹角为60，求三棱锥的侧面积及全面积10如图所示是一个建筑物的三视图，现需要将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用油漆0.2 kg，问共需要油漆多少kg？(尺寸如图所示，单位：m，取3.14，结果精确到0.01 kg)【答案解析】自学导引1(1)ch底面周长和高的乘积(2)nahch底面周长和斜高乘积的一半(3)n(aa)h(cc)h2(1)侧面积与底面积之和(2)4R2大圆面积的四倍对点讲练例1解如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，底面两条对角线的长分别为c，d，即BDc，ACd，则由得c，由得d，代入得22a2，QQ4l2a2，2la.S侧
7、4al2.变式训练1解设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h，过O作OEAB，SEAB，则SEh.S侧2S底，3aha22，ah.SOOE，SO2OE2SE2，322h2，h2，ah6，S底a2629.S侧2S底18，S全S侧S底91827.例2解方法一图(1)如图(1)，过B1作B1FBC交BC于F.RtB1FB中，B1FhBF(84)2，B1B8，B1F2，hB1F2，S四棱台侧(84)4248 (cm2)方法二图(2)如图(2)，四棱台的侧棱延长后交于点P，过P作PEBC交BC于E，交B1C1于E1，则PE1B1C1.设PB1x，则，得x8.PB1B1B8，E1为PE的中点，PE12，PE2
8、PE14，S四棱台侧S大四棱锥侧S小四棱锥侧84PE44PE1844 44248 (cm2)变式训练2解如图所示，正三棱台ABCA1B1C1中，O1、O是上、下底面中心，D1、D是B1C1、BC的中点，则DD1是斜高设A1B120，AB30，则OD5，O1D1，S侧S底，(6090)DD1(202302)DD1.在直角梯形O1ODD1中，O1O4 (cm)，即棱台的高是4 cm.例3证明(1)如图所示，设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，得S球4R2，S圆柱侧2R2R4R2，S球S圆柱侧(2)S圆柱全4R22R26R2，S球4R2，S球S圆柱全变式训练3D由三视图知，几何体是由圆柱
9、与球组成的组合体，S表S球S柱4122122312.课时作业1D2.A3.C4.A5.D6180 cm2解析设正六棱柱的底面边长为a，则底面正六边形的最长对角线为2a，52(2a)2132，a6 cm.S正六棱柱侧6ah180 cm2.7.S解析设圆柱的底面半径为r，母线长为l，l2r，S2rl4r2.r2，S表2r22rl6r2S.850解析设球半径为R，由题意知2R5，则S球4R2(2R)2(5)250.9解如图所示，设O为正三角形ABC的中心，则正三棱锥的高、侧棱、底面半径组成RtAOS.AB，AOsin 60，侧棱与高的夹角为60，SA5.过点S作SEAB，垂足为点E，则正三棱锥的侧棱、斜高、底面边长的一半构成RtSEA，斜高SE，S正三棱锥侧3，S正三棱锥全S正三棱锥侧S正三棱锥底2sin 60()10解由图知建筑物为自上到下分别是圆锥和四棱柱的组合体并且圆锥的底面半径为3 m，母线长为5 m，四棱柱的高为4 m，底面是边长为3 m的正方形圆锥的表面积为r2rl3.14323.143528.2647.175.36 m2；四棱柱的一个底面积为329 m2.所以建筑物的外壁面积75.36948114.36 m2，所以需要油漆114.360.222.87222.87 kg.
