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1、精诚凝聚=A_A=成就梦想课时作业（三十七）第37讲空间几何体的表面积和体积时间：45分钟 分值：100分基础热身1. 2010辽宁卷已知S, A, B, C是球0表面上的点，SA丄平面 ABC, AB丄BC, SA= AB = 1, BC= .2 则球O的表面积等于（）A . 4 n B. 3 nK37 - 1所示，则该几何体的表面积为（C. 2 n D. n2. 已知几何体的三视图如图A . 80+ 7n B . 96 + 7nC. 96+ 8n D . 96 + 9n3. 一个空间几何体的三视图及其尺寸如图K37 2所示，则该空间几何体的体积是（ ）1475 B.3C. 14 D. 74
2、. 某品牌香水瓶的三视图如图K37 3（单位：cm）,贝V该几何体的表面积为（） 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生.鑼3；4图 K37 3nA. 95 - 2cm2B.n94 - 2cm2nC. 94 + 22cm2D.n95+ 22cm2能力提升5 已知一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图K37 4所示，则这个四棱锥的体积是（）A 1 B 2 C. 3 D 4主梯閔 左槪圈*-2*砸图圍总？一46个棱锥的三视图如图 K37 5,则该棱锥的全面积为（）A 48+ 12 2 B. 48 + 24 .2C. 36+ 12 2 D 36 + 24 .272010安徽卷一个几何体的三视图如图K37 6
3、,该几何体的表面积为（）左岳国图 K37 6A. 280 B. 292 C. 360 D. 372&某三棱锥的左视图和俯视图如图K37 7所示，则该三棱锥的体积为（）图 K37 7A .4 ;3 B. 8 ;3 C. 12 3 D . 24 ；3A . 40 n B.105 C . 50 nD.160n9.如图K37 8（单位：cm）,将图中阴影部分绕 AB旋转一周所形成的几何体的体积 为（单位：cm3）（）K37 9,截下10 . 一个底面半径为1,高为6的圆柱被一个平面截下一部分，如图部分的母线最大长度为 2,最小长度为1,则截下部分的体积是 图 K37 911.若某几何体的三视图（单位：
4、cm）如图K37 10所示，则此几何体的体积是 cm3.I孔.4呂I- -I LL 1图 K371012 .表面积为定值S的正四棱柱体积的最大值为 13. 在三棱柱 ABC A B C中，点P,Q分别在棱 BB, CC 上，且BP= 2PBCQ= 3QC ，若三棱柱的体积为 V,则四棱锥A BPQC的体积是.14. (10分)如图K37 11所示的 OAB绕x轴和y轴各旋转一周，分别求出所得几 何体的表面积.图 K371115. (13分)如图K37 12(1)，在直角梯形中(图中数字表示线段的长度),CD丄AF , 将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF丄平面ABCD，连接部分线段后围
5、成一个空 间几何体，如图K37 12(2).(1) 求证：BE /平面ADF ;(2) 求三棱锥F BCE的体积.图 K3712难点突破16. (1)(6分)2011哈尔滨九中二模设直线I与球0有且只有一个公共点 P,从直 线I出发的两个半平面 a卩截球的两截面圆的半径分别为 1和J3,二面角a l 卩的平 面角为150则球O的表面积为()A . 4 n B. 16 nC. 28 n D. 112n(2)(6分)已知正方体 ABCD AiBiCiDi，则四面体 Ci AiBD在平面 ABCD上的正投 影的面积和该四面体的表面积之比是 ()A. 3 B. -3C. 2 .3 D.f课时作业(三十
6、七)【基础热身】i . A 解析S A、B、C四点可以构成一个三棱锥的顶点，且 SA丄平面ABC, AB 丄BC,于是我们把三棱锥补成一个长方体，从而球 0是这个长方体的外接球，其直径 2R =,i2+ 件一22= 2,二 R= i, 球0的表面积等于4 n选A.2. C 解析这个空间几何体上半部分是底面半径为i,高为4的圆柱，下半部分是 棱长为4的正方体，故其全面积是 2 nx i X 4+ nX i2 + 6X 4X 4 n i2= 96 + 8 n故选C.3. A 解析这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台，这个四棱台的i 高是2，上底面是边长为i的正方形，下底面是边长为 2的正
7、方形，故其体积 V= -(i2 + i2x 22+ 22) x 2=詈4. C 解析这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱.上面四棱柱的表面积为2X 3X 3+ i2 x i 才=30扌；中间部分的表面积为2nX 2x i = n下面部分的表面积为 2X4X 4+ i6X 2 才=64 ：故其表面积是94 +才.【能力提升】5. B 解析这个四棱锥的高是,i3 4= 3,底面积是 2 X 2= 2,故其体积为jX 2X 3= 2.故选 B.6. A 解析根据给出的三视图，这个三棱锥是一个底面为等腰直角三角形、一个侧面垂直于底面的三棱锥，其直观图如图所示，其中PD丄
8、平面ABC, D为BC中点，AB丄AC,过D作ED丄AB于E,连接 PE,由于 AB丄PD, AB丄DE，故 AB丄PE, PE即为 PAB的底边 AB上的高.在 Rt PDE中，PE= 5,侧面PAB, PAC面积相等，故这个三iii棱锥的全面积是 2X x 6 X 5 + x 6X 6 + ? X 6 2X 4= 48+ i2.2.7. C 解析由题中的三视图知，该几何体是由两个长方体组成的简单组合体，下面是一个长、宽、高分别是 8,i0,2的长方体，上面竖着的是一个长、宽、高分别为 6、2、 8的长方体，那么其表面积等于下面长方体的表面积与上面长方体的侧面积之和，即S=2(8x i0+
9、8X 2+ i0X 2) + 2(6x 8+ 2X 8)= 360.& A 解析根据三视图可知，在这个三棱锥中其左视图的高就是三棱锥的高、俯 视图的面积就是三棱锥的底面积，其中俯视图的宽度和左视图的宽度相等，所以左视图的底边长是2,由此得左视图的高为 2.3，此即为三棱锥的高；俯视图的面积为6,此即为三棱锥的底面积.所以所求的三棱锥的体积是fx 6X 2 3= 4,3.9. B 解析由图中数据，根据圆台和球的体积公式得V 圆台=4x nX 22 + 寸 nX 22 x nX 52 + nX 52 = 52 n, V 半球=3 n 23Xg=罟 n所以，旋转体的体积为V圆台一 V半球=52161
10、403n3 n= -Mem ).3 n10于解析这样的几何体我们没有可以直接应用的体积计算公式，根据对称性可 以把它补成如图所示的圆柱，这个圆柱的高是3,这个圆柱的体积是所求的几何体体积的13 n2倍，故所求的几何体的体积是 2x nX 12X 3 = 3.11 . 144 解析该空间几何体为一四棱柱和一四棱台组成的，四棱柱的长宽都为4,高为2,体积为4X 4X 2= 32,四棱台的上下底面分别为边长为 4和8的正方形，高为3, 所以体积为3X 3X (42 +42X 82+ 82) = 112，所以该几何体的体积为 32 + 112= 144.12.S36S 解析设正四棱柱的底面边长为a,高
11、为h,则该正四棱柱的表面积为2a2+ 4ah = S,S一 2a211即 h = 4a ，体积为 V= a2h = ;ja(S 2a2) = /Sa 2a3), =4(S- 6a2).=0得a= 点，且当0a0，当a 时,V 0，故当a= ;SSS 2a 2 S 3f 6S,V取极大值，由于这个极值唯一故也是最大值，此时h= 4a4S= 6，而 Vabb c c = V Va a b c1 2=V3V= 3V,故 Vabpqc=体积的最大值是电宵.3613.36V解析四棱锥A_BPQC与四棱锥A BB C C具有相同的高，故其体积23之比等于其底面积之比，由 BP = 2PB, CQ= 3QC
12、 得BP = _BB, CQ = 4CC，设平 行四边形BB C C的高为h,则其面积S= CC h,12 3171717则梯形 BPQC 的面积等于2 BB+ 4CCh = 2CC h= -S,故 Va-bpqc = 1Va_17 21727X 2V= 16V.14. 解答绕x轴旋转一周形成的空间几何体是一个上下底面半径分别为2,3，高为3的圆台，挖去了一个底面半径为3,高为3的圆锥，如图(1)，其表面积是圆台的半径为2的底面积、圆台的侧面积、圆锥的侧面积之和.圆台的母线长是 10，圆锥的母线长是3 2,故其表面积 Si= n22+ t(2 + 3) 10+ n3 3 2= (4 + 5 1
13、0+ 9 2) n绕y轴旋转一周所形成的空间几何体是一个大圆锥挖去了一个小圆锥，如图，此时大圆锥的底面半径为 3,母线长为3 2,小圆锥的底面半径为 3,母线长为10,这个空 间几何体的表面积是这两个圆锥的侧面积之和，故 S2= n 3/2- n10= (9承+ /70) n.115. 解答(1)证法一：取DF中点G,连接AG(如图),DG =DF ,1TCE = 2DF , CE/ DF，二 EG II CD 且 EG= CD.又 AB/ CD 且 AB= CD，二 EG / AB 且 EG = AB,四边形ABEG为平行四边形， BE / AG.v BE?平面 ADF, AG?平面 ADF
14、 , BE I 平面 ADF.AA证法二：由图 可知BC/ AD , CE / DF，折叠之后平行关系不变， BC?平面 ADF , AD?平面 ADF , BC I 平面 ADF，同理 CE I 平面 ADF , BC A CE = C, BC, CE?平面 BCE,.平面 BCE I平面 ADF.v BE?平面 BCE,： BE I 平面 ADF.(2)方法一： Vf-bce = Vb-cef,由图(1)可知 BC丄CD,平面 DCEF 丄平面 ABCD , 平面DCEF A平面 ABCD = CD , BC?平面 ABCD , BC丄平面 DCEF，由图(1)可知DC1 1=CE = 1,CEF= CE DC = 2.-Vf-bce=Vb- cef=3bc CEF=6.方法二：由图(1)可知 CD丄BC, CD 丄CE,V BCA
