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1、灾区物资分配方案 摘要 本文应用线性规化的方法解决了在一定限制条件下如何求得物资分配中满意度最大的问题。模型一通过应用经济学中的基数效用理论和消费选择理论并结合实际分析建立了满意度与急需程度之间的一般函数关系，在此基础上借助优化方法和微分方程理论将物资分配问题转化为在一定约束条件下的最值问题。模型二运用经济学中的边际效用递减规律揭示了影响急需程度变化的因素以及它们之间的关系，是对模型一的合理改进。模型三中我们引入了公平因子（01），并给出严格的定义：（2-）， 对任一分法，当以上两式中等号至少有一个成立时，我们称为此分法的公平度。这样做使决策者有了很大的选择空间，他可以通过确定的值，在每个灾民
2、都能得到最低生活保障的前提下，建立公平度与满意度之间的平衡。这比定量的设出最低生活标准更一般的解决了公平问题。文中通过具体实例，运用MATLAB编程做出了模型一与模型三的不同结果，通过比较结果展现了公平因子在实际应用中的价值，并且我们可以求出相应分法下的最精确的公平因子。最后通过引入满意度的公平弹性给出了如何在公平和效用之间进行取舍的标准。关键词灾区物资分配 优化模型 线性规划 公平因子 MATLAB问题重述某一灾区有N名受灾群众，现有一批救灾物资要发放给这些受灾者。物资共有M种，每种物资的数量有限；各受灾者的灾情不同，对每种物资的急需程度和需求量不同。(1)你作为一名物资分配者，请制定分配原
3、则并给出合理的分配方法。(2)试给出一个符合题意的数值算例。问题分析如果物资分配者有足够的物资满足所有人的需求，我们称所有灾民的满意度达到了最大，并假设此时即使再增加供给灾民的满意度也不会增加。这里假设最大满意度为1，并引入基数效用理论表示满意度，即如果甲的效用是乙的二倍，可以认为甲的满意度是乙的二倍或甲比乙开心二倍（显然此假设有其一定的局限性，但在此并不影响对问题的讨论）。我们可以想象，当物资分配者面对一定数量的灾民，他很难知道每个灾民的具体受灾状况，而只有灾民自己知道什么是他最急需的，我们用一组序数表示任一灾民对不同物资的急需程度，如1，2，3等，这些序数的和不妨称为该灾民的总急需程度。显
4、然，每种物资对应的序数除以总急需程度就表示它在总急需程度中的比重，不同物资的急需程度值实际代表的是该物资相对总体需求的紧急程度，为了便于问题的研究我们设每个灾民在需求得到完全满足之前对各物资急需程度之和为1。对于不同物资，因其急需程度与需求量不同，获得相应物资满意度的增量肯定也是不一样的，急需程度越高，相应物资的增加对满意度的影响也就越大，又由于不同物资的需求量不同，在此用共同的单位度量供应量变化对效用的影响将变得毫无意义，故可研究供应量与需求量的比的变化对效用的影响的相对大小。考虑到物资分配过程中公平与满意度往往需要兼顾，为此我们引入公平因子来解决此问题。模型假设假设物资全部分发完，没有剩余
5、。假设每个灾民的最大满意度为1。假设任一灾民对各种物资的急需程度之和为1。符号说明 物资j的实际数量 灾民i对物资j的实际需求量 灾民i对物资j的原始急需程度 灾民i对物资j的实际急需程度 给灾民i物资j的实际分配量 灾民i对所获物资的满意度和 第种物资发完后灾民获得的总满意度 所有灾民获得的满意度总和 相应分法下灾民的平均满意度 相应分法下获得满意度最大的灾民 相应分法下获得满意度最小的灾民 公平因子 满意度的公平弹性以下如果没有特殊说明，、分别表示第（1N）个人，第（1M）种物资。模型建立和求解模型一 急需程度不变下的分配模型（一）模型建立根据以上问题分析并结合经济学效用理论，我们推测灾民
6、在某物资上获得的满意度增量等于此时的急需程度乘于相应的百分比变化对于任一个灾民，我们有满意度： （1）注意这里的实际含义是单位数量的物资给灾民带来的效用值的大小（其值越大代表该物资越有可能流向此灾民），再乘以实际给予量，得到的就是相应数量的物资给灾民带来的总效用值（我们不妨将其记为满意度）。在（1）式中，当所有 时，我们有： （2）这显然是符合我们对于急需度与满意度的假设的，在此我们成功的建立了满意度与急需度之间的一般函数关系。 根据模型假设，我们有： （3）如果任一灾民对各种物资的急需程度不随供应量的变化而变化，上述问题可以认为是在有限物资限制下求所有灾民的满意度之和最大的问题。即根据公式（
7、1），在（3）限制下，找出使得=的值最大。 （二）模型求解（C语言环境）分析：因为N, M, ，为已知给定常量,令=，有如下等式：= = = 对任一待分配物资， 有： （=0）对于不同的，它们之间没有依赖（约束）关系。也就是说，对每种物资进行单独分配而获得的这一物资的单项满意度最大值，它们的之和就是整个系统的满意度最大值。从而对等式求极大值问题就转化为对等式中的j个分项单独求极大值的问题：= 结论：问题转化为对线性规划的最优化问题：需要极大化的线性函数(目标函数)：= 约束条件： （=0）求解：将目标函数和约束条件转换成增广矩阵，然后用“单纯形算法”求解。（C语言程序见附录中程序源代码三）容易
8、发现，此模型有个显而易见的缺点：当其他物资供应量不变，而只有一种物资供应量增加时，该种物资的急需程度在该灾民对所有物资的总急需度中的比重不可能恒定不变。可以肯定，一种物资的急需程度是随着供应量的增加而下降的，而其他物资的急需程度则随之上升。模型二 急需度随供应量变化的分配模型（一）建立急需程度的函数关系式急需程度是自身供应量的严格单调减函数，对做一个最简单的假定是，设是的线性函数，即 ，当 时； 时, ,这是完全符合实际的。（二）模型建立当其他物资供应量不变时，给一个很微小的，这个不会引起的变化，于是我们有： （4） 对（4）式两边同时积分得： 注意后一个等号仅在其他物资供应量为零时成立！ （
9、5）在（5）式中，当 时， ;此式的实际意义是当其他物资供应量为零时，即使完全满足一种物资的供应，它在该种物资上获得的满意度也只是初始急需程度的一半，模型一的一半，也就是说，随着供应量的增加，同等比例供应量带来的满意度增量在减少，引用经济学的概念就是边际效用递减。这和无差异曲线的效果也是对应的：即当人们拥有较少A物品时，他就迫切的希望得到A，而当A较多时则更希望得到其他物品（效用增加更快）。左图表示的是一种物资的急需程度为0.1，需求量为1时，灾民的满意度与供应量的函数关系图：图中弧线表示的是当其他物资供应量为零而只有此种物资供应量增加时模型二的函数图象，而直线表示满意度与该物资供应量在模型一
10、下的函数图象（与其他物资供应量无关）。显然此图是和上述分析吻合。（三）模型求解需要注意的是，以上各式中的除受到自身供应量变化的影响外，也受到其他物资供应量变化的影响，在自身供应量不变的情况下，是其他物资供应量的严格增函数。于是对任一个灾民，我们有 （6），（7）两式表示对第个灾民增加数量的第种物资时，他对该种物资的急需程度减少了，而这急需程度将转移到他对其余物资的急需程度上，这里我们不妨将平均分配。于是联立式（1），（2），（3），（6），（7），我们可以求出： MAX = 但是这里我们需要注意，通过模型二我们很可能得到了 MAX ，但这个所对应的分法是不公平的（比如某个灾民什么也没有得到，但
11、所有灾民的整体满意度却最大），显然这不符合现实。为了避免这种情况的出现，我们引入公平因子（01）。模型三 引入公平因子的分配模型（一）公平因子的引入作为一名物资分配者，保证分配的公平性是必不可少的；由于救灾物资可多可少，在此要想以物资配给量来订立最低配给标准是不太现实的。灾民对配给是否满意直接反映在满意度上，这里不妨将所有灾民的满意度都用平均满意度加以限制并以此来保证公平（之所以用平均满意度加以限制是因为人们往往倾向把所得与多数人的水平即平均水平相比而不是与个别最大或最小者相比）；设相应分法中灾民满意度最大的为，最小的为，总满意度为，则灾民平均满意度= 。我们引入公平因子，并规定，越大，公平度
12、越高，当时，所有人满意度相同。对任一分法，我们用以下两式来检验： （2-） (8) (9)当以上两式中等号至少有一个成立时，我们称此分法为公平度下的最佳分法。注意要求两个等号中至少有一个成立的原因是在如果两个不等式的等号都不成立，我们可以继续增加的值，直到找到满足条件的，这样做的目的是保证一种分法有且只有唯一的一个公平度与之对应。这样我们就给出了一个衡量公平度的严格标准。（二）模型求解由以上分析模型三的求解可以概括为：物资分配者根据实际需要先设定的值，然后由计算机算出任一分法的、，并带入式（7）和（8）中检验，当等号至少有一个成立，就称该分法是满足我们需要的分法。在以上两个模型中分别引入公平因
13、子的限制就可得到满足一定公平原则下的满意度最大化模型。由于物资分配过程中，分配者所要达到的社会目标不同，所要求的也不尽相同，所以是由实际需要决定的。虽然如此，还是可以做如下研究： （三）公平与效率之间取舍的标准：我们用满意度的公平弹性来描述总满意度对公平度的敏感性。所谓满意度的公平弹性就是公平度变化百分之一引起的满意度的百分比变化。容易想到，当满意度的公平弹性较大时，应考虑将公平度适当降低，因为此时满意度的增幅较大；相反，若满意度的公平弹性很小时，则可以考虑适当提高公平度，因为此时只要牺牲较少的满意度就能使公平度有个较大的提高。 若公平度变化为，因此引起的满意度变化为，那么满意度的公平弹性，记作，就等于： 下图是根据验证实例的计算结果做出的图象！由左图可以看出，当灾民的物资需求量和急需程度与其他人差距不是太大或者说灾民受灾情况与其他人无太大差异时，模型一在产生最大效用分配模型的同时已经保证了一定的公平度（如此例中的0.72）。而在公平度大于0.72的情况下，此时公平度的增加并不会导致效用值的大幅度降低，在灾区物资分配中，公平要高于效率，在此例中应该考虑将公平度增大到0.95左右应该是比较合适的。此时总效用只牺牲0.11,而公平度却增加了0.23。验证实例我们不妨来算个实际的例子，比如某地发生雪灾，现在要将六种物资分配给五位灾民，每位灾民对各种物资的需求量，急需程度以及物资的
