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1、导数及其应用活动一导数几何意义的应用例1 已知曲线y.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程；(3)求满足斜率为的曲线的切线方程变式训练1 在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：yax31(a0)与曲线C2：x2y2的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是_4活动二利用导数研究函数的单调性2、已知函数f(x)xa(2ln x) a0，讨论f(x)的单调性变式训练2 设函数f(x)6x33(a2)x22ax.(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x21，求实数a的值(2)是否存在实数a，使得f(x)是(，)
2、上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由活动三利用导数研究函数的极值或最值例3 已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点 (1，6)，且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称(1)求m、n的值及函数yf(x)的单调区间；(2)若a0，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值变式训练3 设f(x)是定义在1,1上的奇函数，且当1x0时，f(x)2x35ax24a2xb.(1)求函数f(x)的解析式；(2)当10)与曲线C2：x2y2的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是_4解析设A(x0，y0)，所以C1在A处的切线的斜率为f(x0)3a
3、x，C2在A处的切线的斜率为，又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，所以()3ax1，即y03ax，又axy01，所以y0，代入C2：x2y2，得x0，将x0，y0代入yax31(a0)，得a4.题型二利用导数研究函数的单调性例2 (2009安徽)已知函数f(x)xa(2ln x)a0，讨论f(x)的单调性解(1)f(x)的定义域是(0，)，导函数f(x)1.设g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判别式a28.当0即0a0都有f(x)0.此时f(x)是(0，)上的单调递增函数当0即a2时，仅对x时，有f(x)0，对其余的x0都有f(x)0.此时f(x)也是(0，)上的单调递增函数当
4、0即a2时，方程g(x)0有两个不同的实根x1，x2，0x10，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值解(1)由函数f(x)的图象过点(1，6)，得mn3.由f(x)x3mx2nx2，得f(x)3x22mxn，则g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.而g(x)的图象关于y轴对称，所以0，所以m3.代入得n0.于是f(x)3x26x3x(x2)由f(x)0得x2或x0，故f(x)的单调递增区间是(，0)和(2，)；由f(x)0，得0x2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)(2)由(1)得f(x)3x(x2)，令f(x)0得x0或x2.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x
5、(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值由此可得：当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值；当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值；当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值综上得，当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值6，无极大值；当a1或a3时，f(x)无极值变式训练3 设f(x)是定义在1,1上的奇函数，且当1x0时，f(x)2x35ax24a2xb.(1)求函数f(x)的解析式；(2)当1a3时，求函数f(x)在(0,1上的最大值g(a)
