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1、浙江师范大学数学系阿才妙 第讲平面向量与解析几何在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。一、知识整合平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的
2、应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。二、例题解析例1、（2000年全国高考题）椭圆的焦点为FF，点P为其上的动点，当FP F为钝角时，点P横坐标的取值范围是_。解：F1（,0）F2（,0）,设P（3cos,2sin）为钝角 =9cos254sin2=5 cos210 解得： 点P横坐标的取值范围是（）点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化
3、为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求的最大值和最小值。分析：因为O为AB的中点，所以故可利用向量把问题转化为求向量的最值。解：设已知圆的圆心为C，由已知可得：又由中点公式得PCyxAoB所以 = = =又因为 点P在圆(x-3)2+(y-4)2=4上, 所以 且 所以即 故所以的最大值为100，最小值为20。点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。例3、（2003年天津高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面
4、上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过ABC的（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心分析：因为同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知是与ABC的角平分线（射线）同向的一个向量，又，知P点的轨迹是ABC的角平分线，从而点P的轨迹一定通过ABC的内心。反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；（1） 由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量；（2） 求出角平分线的方向向量（3） 由点斜式或点向式得出角平分线方程。直线的点向式方程：过P（），其方向向量为，其方程为例4、（2003年天津）已知常数，向量，经过原点以为方向向量的直线
5、与经过定点以为方向向量的直线相交于点，其中试问：是否存在两个定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由（本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.）解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.， =（，a），=（1，2a）.因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .消去参数，得点的坐标满足方程.整理得 因为所以得： （i）当时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F； （ii）当时，方程表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个
6、定点； （iii）当时，方程也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点.点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景，我们不难看到，本题即为下题：在OAP中，O（0，0）、A（0，a）为两个定点，另两边OP与AP的斜率分别是，求P的轨迹。而课本上有一道习题（数学第二册（上）第96页练习题4）：三角形ABC的两个顶点A、B的坐标分别是（-6，0）、（6，0），边AC、BC所在直线的斜率之积等于，求顶点C的轨迹方程。通过本例可见高考题目与课本的密切关系。例5（2004年天津卷理22）椭圆的中心是原点O，它的
7、短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点. （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.（1）解：由题意，可设椭圆的方程为. 由已知得解得所以椭圆的方程为，离心率.（2）解：由（1）可得A（3，0）.设直线PQ的方程为.由方程组 得依题意，得.设，则， . 由直线PQ的方程得.于是. ，. 由得，从而.所以直线PQ的
8、方程为或（2）证明：.由已知得方程组 注意，解得因，故.而，所以.三、总结提炼由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。1
