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1、考点51:单调性中的分类讨论【思维导图】【常见考法】考法一:导函数为一根1若定义在上的函数,求函数的单调区间;【答案】见解析.【解析】函数,求导得到,当时,函数在上单调递增;当时,由,得到,所以时,单调递减,时,单调递增,综上所述,当时, 单调递增区间为;当时, 单调递增区间为,单调递减区间为;2已知函数,讨论的单调性;【答案】见解析【解析】,当时,在上单调递减.当时,令,得;令,得.的单调递减区间为,单调递增区间为.当时,令,得;令,得.的单调递减区间为,单调递增区间为.3设函数,讨论函数的单调性;【答案】见解析【解析】由题意得,.当时,故函数在区间上单调递增;当时,在区间上,在区间上,故函
2、数在区间上单调递减,在区间上单调递增.4设函数,讨论函数的单调性;【答案】见解析【解析】函数的定义域为,.当,即时,函数在上单调递增. 当时,令,解得,当时,函数单调递增,当时,函数单调递减.综上所述:当时,函数在上单调递增,当时,函数在上单调递增,在上单调递减.考法二:导函数为两根且能因式分解1已知函数,讨论函数的单调性;【答案】见解析【解析】因为,所以.令,解得或.若,当即或时,故函数的单调递增区间为;当即时,故函数的单调递减区间为.若,则,当且仅当时取等号,故函数在上是增函数.若,当即或时,故函数的单调递增区间为;当即时,故函数的单调递减区间为.综上,时,函数单调递增区间为,单调递减区间
3、为; 时,函数单调递增区间为;时,函数单调递增区间为,单调递减区间为.2已知函数,讨论的单调性;【答案】见解析【解析】因为,所以,即.由,得,.当时,当且仅当时,等号成立.故在为增函数.当时,由得或,由得;所以在,为增函数,在为减函数.当时,由得或,由得;所以在,为增函数,在为减函数.综上,当时,在为增函数;当时,在,为增函数,在为减函数;当时,在,为增函数,在为减函数.3已知函数,讨论函数的单调性;【答案】见解析【解析】.若,当时,即在上单调递增;当时,即在上单调递减.若,当时,即在(,上均单调递增;当时,即在上单调递减.若,则,即在上单调递增.若,当时,即在,上均单调递增;当时,即在上单调
4、递减.4.已知函数,求函数的单调区间【答案】见解析【解析】函数的定义域为若,所以函数的单调递增区间为;若,令,解得,当时,的变化情况如下表单调递增极大值单调递减函数的单调递增区间是,单调递减区间是;当时,的变化情况如下表单调递增极大值单调递减函数的单调递增区间是,单调递减区间是综上所述:,的单调递增区间为;,单调递增区间是,单调递减区间是;,单调递增区间是,单调递减区间是5设函数,讨论的单调性;【答案】见解析【解析】(1)由题意得,当时,当;当时,;在单调递减,在单调递增,当时,令得,当时,;当时,;当时,;所以在单调递增,在单调递减;当时,所以在单调递增,当时,;当时,;当时,;在单调递增,
5、在单调递减;6已知函数,讨论的单调性;【答案】见解析【解析】函数的定义域为,若,则,在单调递增. 若,则由得. 当时,;当时,所以在单调递减,在单调递增. 若,则由得.当时,;当时,故在单调递减,在单调递增. 考法三:不能因式分解的导函数1已知函数,讨论的单调性;【答案】见解析【解析】的定义域为,对于,当时,则在上是增函数.当时,对于,有,则在上是增函数.当时,令,得或,令,得,所以在,上是增函数,在上是减函数.综上,当时,在上是增函数;当时,在,上是增函数,在上是减函数.2已知函数,讨论函数的单调性;【答案】见解析【解析】由得: 定义域为令,则当,即时,则,即在上单调递减当,即时,令,解得:,当时,当和时,即;当时,即在,上单调递减;在上单调递增当时,当时,即;当时,即在上单调递增,在上单调递减