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1、数学归纳法及应用举例第一课教学设计重庆市教育科学研究院 张晓斌教学目标： 一、知识目标 1了解归纳法的意义. 2理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤，初步会用数学归纳法证明有关正整数的命题. 二、能力目标 1通过探索关于正整数命题的证明方法的过程，让学生体验严密的逻辑推理的数学思想. 2学生经历对问题的探究过程，让学生感知科学的研究方法，并培养学生提出问题、思考问题、分析问题、解决问题的能力. 三、情感目标 1在学生经历问题的探究过程中，激励学生的好奇心和求知欲. 2在教学中，通过师生、学生之间的平等交流，使学生感受民主的氛围和团结合作的精神.教学重难点： 一、重点 1初步理解数
2、学归纳法的原理. 2初步会用数学归纳法证明简单的数学命题. 二、难点 1对数学归纳法原理的理解. 2为何要利用假设证明n=k+1时命题正确.教学过程： 一、创设情景 师：同学们，我们先一起来分析三个问题情景： 情景一：从麻布口袋里（无放回）逐一摸球. 师演示：摸出第一个球，红色；第二个球，红色；第三个球，红色；第四个球，红色. 师：根据这四个特殊事例，你能得出什么猜想？ 生甲：全为红色. 生乙：不一定. 师演示：摸出一个白色球. 师：说明由有限个特殊事例归纳出的结论不一定正确. 情景二：给出一个数列的通项公式. 板书：an=(n2-5n+5)2. 学生分组计算：a1, a2, a3, a4.
3、师：请同学们猜想an=? (nN*). 生齐答：an=1. 师生一起计算：a5=25，否定结论. 情景三 师：请同学们回忆等差数列通项公式是如何推导的？ 生：根据前四项的规律，归纳出来的.板书：观察等差数列的前几项：你发现了什么规律？试用、和表示.生：an= a1+（n-1）d (nN*). 师：以上三个情景说明一个什么问题？ （师生共同观察、分析、讨论） 生甲：结论有的正确，有的不正确. 生乙：都是由几个事例得出的结论，有的正确，有的不正确. 师：还有什么补充？ 生丙：这些问题与自然数有关. 生丁：这种由有限个事例推出一般结论的方法不能作为证明方法. 师：象这样由有限多个特殊事例归纳出一般结
4、论的方法叫归纳法（板书归纳法），得出的结论不一定正确,也不能作为论证方法.师：用归纳法可以帮助我们从特殊事例中发现一般规律，但得出的一般结论并不一定可靠.再如法国著名数学家费尔马曾由得到均为质数而推测：为自然数时，都是质数，但这一结论是错误的.因为瑞士大数学家欧拉发现，时，是一个合数：.师：既然由归纳法得到的结论不一定可靠，那么，就必须想办法对所得到的结论进行证明.对于由归纳法得出的某些与正整数有关的命题，能否通过一一验证的办法来加以证明呢？生：不能.因为这类命题中所涉及的正整数有无限多个，所以无法一个一个加以验证. 二、探索发现 师：前面学习的等差数列通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的，
5、也可能不正确.一旦错误，我们已经建立的数学大厦必将倒塌，必须对它进行抢救性证明.如何证明这类有关正整数的命题呢？ 生甲：一一列出各项. 生乙：不可能全部列出. 师：人精力有限，不可能也不必要一一列出各项,我们一起来探索新的证明方法.我们将采用递推的办法解决这个问题.同学们在电视中可能看到过“多米诺”骨牌的游戏，由于骨牌之间特殊的排列方法，只要推到第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下，如此传递下去，所有的骨牌都会倒下.这种传递相推的方法，就是递推. 师：要使n块多米诺骨牌全体依次倒下，须满足什么条件？ 生甲：摆放距离要恰当. 生乙：牌的大小、重量要合适. 师：我们只
6、研究数学方面的条件，应找出数学模型. 生丙：第一块倒下，后面接着倒下. 师：总结同学的发言，需要条件如下： （1）第一块要倒下.（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下.再如：前面从一个袋子里第一次摸出的是一个红球，接着，如果我们有这样的一个保证：“当你这一次摸出的是红球，则下一次摸出的一定也是红球”，能否断定这个袋子里装的全是红球？生：能断定. 师：类似地，证明一个关于正整数n的命题需要证明哪几条？ （通过学生充分探索、讨论3分钟） 生甲：第一条，n=1时，命题成立； 第二条，n取前面一个值成立时，n取后面一个值也成立. 师：关于一个正整数n的命题，n一定可以取1吗？ 生乙：不一定，如多边形
7、内角和定理. 师：所以第一条是n取第一个值n0时，命题正确. 师：如何用数学语言来刻画n取前面一个值命题成立时，n取后面一个值也成立呢？ 生丙：n=1命题成立时，n=2命题也成立；n=2命题成立时，n=3命题也成立.以此类推. 生丁：证明不完，前面一个n值用一个字母表示. 师：对.就用k表示吧. 生丁：若当n=k时，命题成立，则n=k+1命题也成立. 师：归纳同学们的意见，总结如下： 板书： 第一条：证明当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时，命题成立. 第二条：假设当n=k（kN*，且kn0，）时命题成立.证明当n=k+1时，命题成立. 师：证明了这两条命题一定成立吗？ 生：一定成立. 师
8、：为什么？ 生思考后，由第一条，n取第一个值命题成立了，由第二条n从第一个值开始，取后面的值一个接着一个都成立了.这两步实质上具有递推性.师：很好，这种证明命题的方法叫做数学归纳法.需证明的两条就是证明的两个步骤.（1）是递推的始点；（2）是递推的依据.步骤（1）是一次验证，步骤（2）是以一次逻辑推理代替了无限次验证过程.步骤（2）用的是演绎推理.板书： 第一步n=1时命题成立 n=2时命题成立 由第二步n=1+1也成立 n=3时命题成立 由第二步n=2+1也成立 由第二步n=3+1也成立 n=4时命题成立 即nN* 时，命题均成立师：上述无穷“链条”一环扣一环，形象地说明了用数学归纳法证明命
9、题正确性的过程，它的两个步骤保证了命题无限递推是正确的.师：同学们，从以上推理链你们发现了什么？ 生甲：只要完成了证明的两个步骤，就完成了证明. 生乙：两个步骤缺一不可. 师：同学们的发现很好！第一步是递推的基础,第二步是递推的依据. （用展示平台展示用数学归纳法证明命题的两个步骤.） 下面尝试用数学归纳法证明等差数列的通项公式. 三、尝试证明 板书：已知an是等差数列，公差为d. 求证：an=a1+(n-1)d. 在教师的组织下，师生共同完成证明.师进行叙述示范.在证明过程中，教师适时提出两个问题让学生思考讨论. 问题一：假设n=k时等式成立，如何翻译成数学式子？这个式子是作为已知利用或是需
10、要证明的？ 问题二：证明n=k+1时等式成立需证明的目标是什么？ 四、应用举例 例1：用数学归纳法证明： 1+3+5+（2n-1）=n2. 此例的教学过程为： （1）学生先独立完成，在完成过程中师生之间、生生之间可以相互交流讨论. （2）教师在适当时候提出两个问题： 如何造成利用假设的条件？ 证明n=k+1等式成立的证明目标是什么？ （3）学生基本完成后，教师用平台展示学生的证明过程，师生共同点评.用实物展示平台展示学生的错误做法：（1）时，左1，右1，等式成立.（2）假设时等式成立，即.则时，当时等式成立，由（1）和（2）可知对任何等式都成立.师：上面的证明方法是数学归纳法吗？学生讨论.师：
11、从形式上看用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式，数学归纳法的核心是证明命题的正确具有递推性.仅有第一步骤验证而没有第二步骤递推性的证明是不行的.那么，没有第一步行吗？学生讨论.师：让我们看一个例子：试问等式成立吗？设等式成立，即，则.当时等式成立，故对任何等式都成立.师：对吗？学生讨论.师：事实上，当时，左边2，右边3，左边右边.左边总是偶数，右边总是奇数，该等式不可能对都是成立的.师：因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据.缺了第一步，递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去.
12、五、练习反馈 课堂练习：用数学归纳法证明： 1+2+3+n=n（n+1） 根据学生练习情况教师随时加入讨论.学生基本完成后,在平台上学生自愿展示自己的作品,师生共同点评. 七、归纳小结 师：通过本课学习，同学们学到了哪些知识或方法？有什么体会？ 在同学充分思考、讨论的基础上，用平台展示小结： 1.数学归纳法是科学的证明方法,利用它可以证明一些关于正整数n的命题. 2.数学归纳法证明命题的两个步骤: (1)当n取第一个值n0(例如n0=1或2等)时命题成立. (2)假设当n=k(kN*，且kn0)时命题成立，利用它证明当n=k+1时命题也成立. 3.用数学归纳法证明命题的两个步骤缺一不可. 4.
13、证明n=k+1命题成立时，一定要利用假设.5.证明n=k+1命题成立时，首先要明确证明的目标.6.归纳法是一种推理的方法，数学归纳法是一种证明方法.归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想.“观察猜想证明”是解答与正整数有关命题的有效途径. 八、布置作业 1用数学归纳法证明： （1）1+2+22+2n-1=2n-1 （2）首项是a1,公比是q的等比数列的通项公式是： an=a1qn-1 2思考题 用数学归纳法证明命题为什么两个步骤缺一不可？【教学设计说明】本课采用交往式的教学方法,师生之间,学生之间在整个学习活动中相互交流,相互促进.教师在本课中的主要作用是提出研究课题,组织学生参加探究学习并以学习者的角色参与学习活动.师生一起提出问题让学生充分探究解决问题,并让学生对解决问题的方法、过程、结论进行判断,使学生主动参与知识的发生、发展全过程,在探究问题、解决问题中学习.通过分组讨论,使学生在合作学习中明辨是非,对就对、错就错,从中学会尊重人、理解人,培养了学生求真务实和科学人文精神.基本教学环节是:创设情景探索发现尝试证明升华理解应用举例归纳小结.这种教学方法充分体现了以学生为中心,以学生
