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1、常用面积公式面积公式扇形面积公式在半径为R的圆中，因为360的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=R2，所以圆心角为n的扇形面积： S=nR²360 比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135的扇形的周长： C=2R+nR180 =21+1353.141180 =2+2.355 =4.355(cm)=43.55(mm) 扇形的面积： S=nR²360 =1353.1411360 =1.1775(cm²)=117.75(mm²) 扇形还有另一个面积公式 S=1/2lR 其中l为弧长，R为半径 扇环面积圆环周长:外圆的周长+内圆的周长(圆周率X(大直径+
2、小直径) 圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率X大半径的平方-圆周率X小半径的平方圆周率X(大半径的平方-小半径的平方) 用字母表示： S内+S外（R方） S外S内=(R方-r方） 还有第二种方法： S=(R-r)(R+r) R=大圆半径 r=圆环宽度=大圆半径-小圆半径 还有一种方法： 已知圆环的外直径为D，圆环厚度（即外内半径之差）为d。 d=R-r， D-d=2R-（R-r）=R+r， 可由第一、二种方法推得 S=(R-r)(R+r)=(D-d)d， 圆环面积S=(D-d)d 这是根据外直径和圆环厚度（即外内半径之差）得出面积。这两个数据在现实易于测量，适用于计算实物，例如圆钢管。三角形
3、面积公式海伦公式任意三角形的面积公式（海伦公式）：S²=p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2, a.b.c为三角形三边。 证明： 证一 勾股定理 分析：先从三角形最基本的计算公式SABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。 证明：如图haBC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = SABC = aha= a = 此时SABC为变形，故得证。 证二：斯氏定理 分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。 斯氏定理:ABC边BC上任取一点D， 若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ha 2 =
4、t 2 = SABC = aha = a = 此时为SABC的变形，故得证。 证三：余弦定理 分析：由变形 S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 2abcosC 对其进行证明。 证明：要证明S = 则要证S = = = absinC 此时S = absinC为三角形计算公式，故得证。 证四：恒等式 分析：考虑运用SABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。 恒等式：若A+B+C =180那么 tg tg + tg tg + tg tg = 1 证明：如图，tg = tg = tg = 根据恒等式，得： + + = 代入，得： r2(x+y+z)
5、= xyz 如图可知：a+bc = (x+z)+(x+y)(z+y) = 2x x = 同理：y = z = 代入 ，得： r 2 = 两边同乘以 ，得： r 2 = 两边开方，得： r = 左边r = rp= SABC 右边为海伦公式变形，故得证。 证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = r = y 同理r = z r = x ,得： r3 = xyz 坐标面积公式1：ABC，三顶点的坐标分别为 A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2), SABC=a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2/2. 2:空间ABC，三顶点的坐标
6、分别为A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2c3),面积为S，则 S²=（a1b2+b2c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2)²+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3-b2a3)²+ (a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)².圆面积公式设圆半径为 ：r, 面积为 ：S . 则 面积 S= r² ; 表示圆周率 即 圆面积 等于 圆周率 乘以 圆半径的平方弓形面积公式设弓形AB所对的弧为弧AB，那么： 当弧AB是劣弧时，那么S弓形=S扇形SAOB（A、B是弧的端点，O是圆心）。
7、当弧AB是半圆时，那么S弓形=S扇形=1/2S圆=1/2r²。 当弧AB是优弧时，那么S弓形=S扇形+SAOB（A、B是弧的端点，O是圆心） 计算公式分别是： S=nR²360ah2 S=R²/2 S=nR²360+ah2椭圆面积计算公式椭圆面积公式： S=ab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。菱形面积公式定理简述及证明菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（ab）2 菱形的面积也可=底乘高 抛物线弓形面积公式 抛物线弦长公式及应用 本文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的弦长,还可以利用它来
8、判断直线与抛物线位置关系及解决一些与弦长有关的题目.方法简单明了,以供参考. 抛物线弓形面积公式等于：以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的3/4，即： 抛物线弓形面积=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+=4/3*S 定理 直线y=kx+b(k0)被抛物线y²=2Px截得的弦AB的长度为 AB= 证明 由y=kx+b得x=代入y²=2Px得y2+=0 y1+y2=,y1y2=. y1y2=2, AB=y1y2|= 当直线y=kx+b(k0)过焦点时,b=,代入得AB=P(1+k2), 于是得出下面推论: 推论1 过焦点的直线y=kx（k 0）被抛物
9、线y²=2Px截得的弦 AB的长度为 AB=P(1+k2) 在中,由容易得出下面推论: 推论2 己知直线l: y=kx+b(k0)及抛物线C:y²=2Px )当P2bk时,l与C交于两点(相交); )当P=2bk时,l与C交于一点(相切); )当P2bk时,l与C无交点(相离). 定理应用下面介绍定理及推论的一些应用: 例1 (课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x²截得的线段的长? 分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x看成y用即可. 解 曲线方程可变形为x²=2y则P=1,直线方程可变形为x=y, 即k=1,b=.由得AB=4.
10、例2 求直线2x+y+1=0到曲线y²2x2y+3=0的最短距离. 分析:可求与已知直线平行并和曲 线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离. 解 曲线可变形为(y1)²=2(x1)则P=1,由2x+y+1=0知k=2.由推论2,令2bk=P,解得b=.所求直线方 程为y1=2(x1),即2x+y=0. . 故所求最短距离为. 例3 当直线y=kx+1与曲线y=1有交点时,求k的范围. 解 曲线可变形为(y+1)²=x+1 (x1,y1) ,则P=1/2.直线相应地可变为 y+1=k(x+1)k+2,b=2-k.由推论2,令2bkP,即2k(2k),解得k1或
11、k1+.故k1或k1+时直线与曲线有交点. 注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误. 例4 抛物线y²=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛物线的方程. 解 设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=.由, |OA|=, |OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.抛物线方程为y²=x. 例5设O为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知OF=a,PQ=b,.求SOPQ 解 以O为原点,OF为x轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线方程为y²=4ax(P=2a),设PQ的斜率为k
12、,由|PQ|=, 已知|PQ|=b,k²=.k²=tg2sin2=.即sin=, SOPQ=SOPF+SOQF =a|PF|sin+a|FQ|sin()=ab sin=. 常见的面积定理1 一个图形的面积等于它的各部分面积的和； 2 两个全等图形的面积相等； 3 等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等； 4 等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比； 5 相似三角形的面积比等于相似比的平方； 6 等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；
