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1、2012年全国高考数学试题分类汇编(函数与导数)有参考答案2012全国各地高考数学试题分类汇编（函数与导数）1. （2012辽宁）设函数满足，且当时，.又函数，则函数在上的零点个数为A5 B6 C7 D8【解析】由知,所以函数为偶函数，所以，所以函数为周期为2的周期函数，且，而为偶函数，且，在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有6个公共点，则函数在上的零点个数为6，故选B.2.（2012安徽理）（本小题满分13分）K 设 （I）求在上的最小值； （II）设曲线在点的切线方程为；求的值。【解析】（I）设；则 当时，在上是增函数 得：当时，的最小值为 当时， 当且仅当时，的最小值为（
2、II） 由题意得：3.(2012安徽文)（本小题满分12分）设定义在（0，+）上的函数（）求的最小值；（）若曲线在点处的切线方程为，求的值。【解析】（I） 当且仅当时，的最小值为 （II）由题意得： 由得：4(2012北京理)（本小题共13分）已知函数f（x）=ax2+1（a0）,g(x)=x3+bx(1) 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；(2) 当a2=4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-，-1）上的最大值，解：（1）由为公共切点可得：，则，则，又，即，代入式可得：（2），设则，令，解得：，；，原函数在单调递增，
3、在单调递减，在上单调递增若，即时，最大值为；若，即时，最大值为若时，即时，最大值为综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为5. (2012福建理)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数，且的解集为。（）求的值；（）若，且，求证：。【解析】（1）， （2）由（1）知,由柯西不等式得（lby lfx）6. (2012福建理)（本小题满分14分）已知函数 （）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；（）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。解：（） 由题意得： 得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为（）设； 则过切点的切线方程为 令；则
4、切线与曲线只有一个公共点只有一个根 ，且 （1）当时， 得：当且仅当时， 由的任意性，不符合条件（lby lfx） （2）当时，令 当时， 当且仅当时，在上单调递增 只有一个根 当时， 得：，又 存在两个数使， 得：又 存在使，与条件不符。 当时，同理可证，与条件不符 从上得：当时，存在唯一的点使该点处的切线与曲线只有一个公共点7. (2012广东理)（本小题满分14分）设，集合，（1）求集合（用区间表示） （2）求函数在内的极值点。解（1）由有 ，即 有 又 当时，恒成立。B=R当时，当时，即1）当时，方程有两个不同的根其中，且 （显然）2）当时，3）当时， （显然） ， （，显然）综合上述
5、：当时，当时，当时，（2），由 有当时，1+00+ 函数在内的极值点为或当时， （）而 ，即（） 同理 （）而 ，即，故+0+ 函数在内的极值点为当时，而 ， 函数在内的无极值点综合上述： 当时，函数在内的极值点为或；当时，函数在内的极值点为当时，函数在内的无极值点8. （2012广东理）(本小题满分14分)已知函数f(x)=1+，求：（1）当x为何值时，函数f(x)取得极大值;（2）作出函数f(x)的草图，并写出分析过程.解：（1）函数的定义域为（-，-3）（-3，+）对函数f(x)求导得：f(x)=令f(x)=0，得x=3因为x（-，-3）时，f(x)0；x（-3，+）时，f(x)0所以x
6、=3时，函数f(x)取得极大值.（）对f(x)=求导得：f(x)=令f(x)=0，得x=6. 列表分析：x（-，-3）(-3,3)3(3,6)6（6，+）f(x)-+0-f(x)-0+f(x)4X=-3是曲线的铅直渐近线，y=1是曲线的水平渐近线计算点的函数值：f(0)=1,f(-1)=-8,f(-9)=-8,f(-15)=-草图: 9（2012广东文） （本小题满分14分）设，集合，(1) 求集合（用区间表示）；(2) 求函数在内的极值点解：（1）集合B解集：令(1):当时，即：，B的解集为：此时（2）当此时，集合B的二次不等式为：，此时，B的解集为：故：（3）当即此时方程的两个根分别为：
7、很明显，故此时的综上所述：当当时，当，(2) 极值点，即导函数的值为0的点。即此时方程的两个根为： （）当 故当 分子做差比较：所以又分子做差比较法：，故,故此时时的根取不到，（）当时，此时，极值点取不到x=1极值点为(,（）当，,极值点为： 和总上所述：当 有1个当时，有1个极值点为(, 当，有2个极值点分别为为： 和10（2012湖南文）（本小题满分13分）已知函数，其中a0（）若对一切xR，1恒成立，求a的取值集合；（）在函数的图象上取定两点，记直线AB的斜率为k，证明：存在，使成立解：（）令得 当时，单调递减； 当时，单调递增 故当时，取最小值于是对一切xR，1恒成立，当且仅当 令，则
8、 当时，单调递增；当时，单调递减 故当时，取最大值 因此，当且仅当时，式成立 综上所述，a的取值集合为（）由题意知， 令，则 ， 令，则 当时，单调递减； 当时，单调递增 故当时， ，即 从而， 又，所以， 因为函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线， 所以存在存在，使，即成立11（2012湖北理）（本小题满分14分）（）已知函数，其中为有理数，且. 求的最小值；（）试用（）的结果证明如下命题：设，为正有理数. 若，则；（）请将（）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式.解析：（），令，解得.当时，所以在内是减函数；当 时，所以在内是增函数.故
9、函数在处取得最小值. （）由（）知，当时，有，即 若，中有一个为0，则成立；若，均不为0，又，可得，于是在中令，可得，即，亦即.综上，对，为正有理数且，总有. （）（）中命题的推广形式为：设为非负实数，为正有理数. 若，则. 用数学归纳法证明如下：（1）当时，有，成立. （2）假设当时，成立，即若为非负实数，为正有理数，且，则. 当时，已知为非负实数，为正有理数，且，此时，即，于是=.因，由归纳假设可得，从而. 又因，由得，从而.故当时，成立.由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立. 说明：（）中如果推广形式中指出式对成立，则后续证明中不需讨论的情况.12（2012湖南理）（本小题
10、满分13分）已知函数，其中a0（）若对一切xR，1恒成立，求a的取值集合；（）在函数的图像上取定两点，记直线AB的斜率为k问：是否存在，使成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由解：（）若，则对一切，这与题设矛盾又，故而令，得当时，单调递减；当时，单调递增故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当 令则当时，单调递增；当时，单调递减故当时，取最大值因此，当且仅当，即时，式成立综上所述，的取值集合为（）由题意知，令则令，则当时，单调递减；当时，单调递增故当时，即从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在，使得又单调递增，故这样的是唯一的，且故当且仅当时， 综上所
11、述，存在，使成立，且的取值范围为13.（2012江苏卷）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点. 已知是实数，1和-1是函数的两个极值点.(1)求a和b的值；(2)设函数的导函数，求的极值点;(3)设，其中，求函数的零点个数解.(1)由题设知，且解得(2)由（1）知，因为 所以的根为,于是函数的极值点只能是1或-2 当时,;当时, ,故-2是的极值点. 当或时, ,故1不是的极值点.所以的极值点是-2.(3)令,则,先讨论关于的方程根的情况,当时,由(2)可知，的两个不同根为1和-2，注意到是奇函数，所以的两个不同根为-1和2.当时，因为所以-2，-1,1,2都不是的根.由(1)知 当时,于是是单调增函数,从而 ,此时无实根,同理, 在上无实根. 当时, ,于是是单调增函数,又,的图像不间断,所以在内有唯一实根.同理, 在(-2,-1)内有唯一实根. 当时,故是单调减函数,又 的图像不间断, 所以在内有唯一实根.由上可知:当时,有两个不同的实根满足;当时，有三个不同的实根满足现考虑的零点.（）当时，有两个不同的根满足而有三个不同的实根，有两个不同的实根，故有5个
