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1、-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除等比数列典型例题及详细解答(总11页)1等比数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母_q_表示(q0)2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1,公比为q,则它的通项ana1qn1.3等比中项若G2ab_(ab0),那么G叫做a与b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:anamqnm(n,mN*)(2)若an为等比数列,且klmn (k,l,m,nN*),则aka
2、laman.(3)若an,bn(项数相同)是等比数列,则an(0),a,anbn,仍是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,当q1时,Snna1;当q1时,Sn.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等比数列,其公比为_qn_.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a,b的等比中项G2ab.()(3)如果数列an为等比数列,bna2n1a2n,则数列bn也是等比数列()(4)如果数列an为等比
3、数列,则数列ln an是等差数列()(5)数列an的通项公式是anan,则其前n项和为Sn.()(6)数列an为等比数列,则S4,S8S4,S12S8成等比数列()1(2015课标全国)已知等比数列an满足a13,a1a3a521,则a3a5a7等于()A21 B42 C63 D84答案B解析设等比数列an的公比为q,则由a13,a1a3a521得3(1q2q4)21,解得q23(舍去)或q22,于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142,故选B.2设等比数列an的前n项和为Sn.若S23,S415,则S6等于()A31 B32 C63 D64答案C解析根据题意知,等比数列an的公比不是1
4、.由等比数列的性质,得(S4S2)2S2(S6S4),即1223(S615),解得S663.故选C.3等比数列an中,a42,a55,则数列lg an的前8项和等于()A6 B5 C4 D3答案C解析数列lg an的前8项和S8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4lg(a4a5)4lg(25)44.4(2015安徽)已知数列an是递增的等比数列,a1a49,a2a38,则数列an的前n项和等于_答案2n1解析由等比数列性质知a2a3a1a4,又a2a38,a1a49,所以联立方程解得或又数列an为递增数列,a11,a48,从而a1q38,q2.数列an的前n项和
5、为Sn2n1.5(教材改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为_答案27,81解析设该数列的公比为q,由题意知,2439q3,q327,q3.插入的两个数分别为9327,27381.题型一等比数列基本量的运算例1(1)设an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和已知a2a41,S37,则S5等于()A. B. C. D.(2)在等比数列an中,若a4a26,a5a115,则a3_.答案(1)B(2)4或4解析(1)显然公比q1,由题意得解得或(舍去),S5.(2)设等比数列an的公比为q(q0),则两式相除,得,即2q25q20,解得q2或q.所以或故a34
6、或a34.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解(1)在正项等比数列an中,an1an,a2a86,a4a65,则等于()A. B.C. D.(2)(2015湖南)设Sn为等比数列an的前n项和,若a11,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an_.答案(1)D(2)3n1解析(1)设公比为q,则由题意知0q1,由得a43,a62,所以.(2)由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S23S1S3,可得a33a2,所以公比q3,故等比数列通项ana1qn13n1.题型二等比数列的判定与证明例
7、2设数列an的前n项和为Sn,已知a11,Sn14an2.(1)设bnan12an,证明:数列bn是等比数列;(2)求数列an的通项公式(1)证明由a11及Sn14an2,有a1a2S24a12.a25,b1a22a13.又,得an14an4an1 (n2),an12an2(an2an1) (n2)bnan12an,bn2bn1 (n2),故bn是首项b13,公比为2的等比数列(2)解由(1)知bnan12an32n1,故是首项为,公差为的等差数列(n1),故an(3n1)2n2.引申探究例2中“Sn14an2”改为“Sn12Sn(n1)”,其他不变探求数列an的通项公式解由已知得n2时,Sn
8、2Sn1n.Sn1Sn2Sn2Sn11,an12an1,an112(an1),又a11,当n1时上式也成立,故an1是以2为首项,以2为公比的等比数列,an122n12n,an2n1.思维升华(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证设数列an的前n项和为Sn,已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2,a3的值;(2)求证:数列Sn2是等比数列(1)解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*),当n1时,a
9、1212;当n2时,a12a2(a1a2)4,a24;当n3时,a12a23a32(a1a2a3)6,a38.综上,a24,a38.(2)证明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*),当n2时,a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120,即Sn2Sn12,Sn22(Sn12)S1240,Sn120,2,故Sn2是以4为首项,2为公比的等比数列题型三等比数列的性质及应用例3(1)在等比数列an中,各项均为正值,且a6a10a3a541,a4a85,则a4a8_.(2)等比数
10、列an的首项a11,前n项和为Sn,若,则公比q_.答案(1)(2)解析(1)由a6a10a3a541及a6a10a,a3a5a,得aa41.因为a4a85,所以(a4a8)2a2a4a8a412551.又an0,所以a4a8.(2)由,a11知公比q1,则可得.由等比数列前n项和的性质知S5,S10S5,S15S10成等比数列,且公比为q5,故q5,q.思维升华(1)在等比数列的基本运算问题中,一般利用通项公式与前n项和公式,建立方程组求解,但如果能灵活运用等比数列的性质“若mnpq,则有amanapaq”,可以减少运算量(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质,例如等比
11、数列Sk,S2kSk,S3kS2k,成等比数列,公比为qk(q1)已知等比数列an的公比为正数,且a3a92a,a22,则a1等于()A. B.C. D2(2)等比数列an共有奇数项,所有奇数项和S奇255,所有偶数项和S偶126,末项是192,则首项a1等于()A1 B2C3 D4答案(1)C(2)C解析(1)由等比数列的性质得a3a9a2a,q0,a6a5,q,a1,故选C.(2)设等比数列an共有2k1(kN*)项,则a2k1192,则S奇a1a3a2k1a2k1(a2a4a2k)a2k1S偶a2k1192255,解得q2,而S奇255,解得a13,故选C.12分类讨论思想在等比数列中的
12、应用典例(12分)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*),且2S2,S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式;(2)证明:Sn(nN*)思维点拨(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式;(2)求出前n项和,根据函数的单调性证明规范解答(1)解设等比数列an的公比为q,因为2S2,S3,4S4成等差数列,所以S32S24S4S3,即S4S3S2S4,可得2a4a3,于是q.2分又a1,所以等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.3分(2)证明由(1)知,Sn1n,Sn1n6分当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,所以SnS1.8分当n为偶数时,Sn随n的增大而减小,所以SnS2.10分故对于nN*,有Sn.12分温馨提醒(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有已知Sn与an的关系,要分n1,n2两种情况等比数列中遇到求和问题要分公比q1,q1讨论项数的奇、偶数讨论等比数列的单调性的判断注意与a1,q的取值的讨论(2)数列与函数有密切的联系,证明与数列有关的不等式,一般是求数列中的最大项或最小项,可以利用图象或者数列