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1、经典易错题会诊与2012届高考试题预测(四)考点4 数 列 经典易错题会诊 命题角度1 数列的概念 命题角度2 等差数列 命题角度3 等比数列 命题角度4 等差与等比数列的综合 命题角度5 数列与解析几何、函数、不等式的综合 命题角度6 数列的应用探究开放题预测 预测角度1 数列的概念 预测角度2 等差数列与等比数列 预测角度3 数列的通项与前n项和 预测角度4 递推数列与不等式的证明 预测角度5 有关数列的综合性问题 预测角度6 数列的实际应用 预测角度7 数列与图形经典易错题会诊命题角度 1 数列的概念1(典型例题)已知数列an满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1,
2、(n2)，则an的通项an=_. 考场错解 an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2，两式相减得an-an-1=(n-1)an-1，an=nan-1.由此类推： an-1=(n-1)an-2，a2=2a1，由叠乘法可得an= 专家把脉 在求数列的通项公式时向前递推一项时应考虑n的范围当n=1时，a1=与已知a1=1，矛盾 对症下药 n2时，an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1 当n3时，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2 -得 an-an-1=(n-1)an-1当n3时，=n，an=n43a2=a2，a2=a1
3、=1当n2时，an= . 当n=1时，a1=1故an= 2(典型例题)设数列an的前n项和为Sn,Sn=(对于所有n1)，且a4=54，则a1的数值是_.考场错解Sn=,此数列是等比数列，首项是a1，公比是3，由a4=a134-1，a1=2 专家把脉 此题不知数列an的类型，并不能套用等比数列的公式而答案一致是巧合对症下药a4=S4-S3=(34-1)-(33-1)=54，解得a1=2 3.(典型例题)已知数列an满足a1=1，an=3n-1+an-1(n2) (1)求a2，a3； (2)求通项an的表达式 考场错解 (1)a1=1，a2=3+1=4，a3=32+4=13 (2)由已知an=3
4、n-1+an-1，即an-an-1=3n-1 即an成等差数列，公差d=3n-1故an=1+(n-1)3n-1 专家把脉 (2)问中an-an-1=3n-1，3n-1不是常数，它是一个变量，故不符合等差数列的定义 对症下药 (1)a1=1，a2=4，a3=32+4=13(2)由已知an-an-1=3n-1，故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+3+1=. 4(典型例题)等差数列an中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于 ( ) A.160 B180 C. 200 D220 考场错解 由通项公式a
5、n=a1+(n+1)d.将a2,a3，a18，a19，a20都表示成a1和d.求a1、d，再利用等差数列求和，选C 专家把脉 此方法同样可求得解但解法大繁，花费时间多，计算量大故而出错，应运用数列的性质求解就简易得多对症下药 B 由公式m+n=2Pam+an=2ap?(只适用等差数列)即可求解由a1+a2+a3=-24，可得：3a2=-24 由a18+a19+a20=78，可得：3a19=78 即 a2=-8，a19=26又S20=10(a2+a19)=180 2(典型例题)若an是等差数列，首项a10，a2003+a20040，a2003a20040，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是
6、( ) A.4005 B4006 C.4007 D.4008 考场错解 a2004+a20030，即2a1+2002d+2003d0，(a1+2002d)(a1+2003d)0即使na1+d0这样很难求出a1，d.从而求出最大的自然数 n.故而判断a20030，a20040 专家把脉 此题运用等差数列前n项的性质及图象中应注意a20030，a20040，a2003+a20040，a2003a20040，且an为等差数列 an表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a2003是绝对值最小的正数，a2004是绝对值最大的负数(第一个负数)，且|a2003|a2004|在等差数列an中，a2
7、003+a2004=a1+a40060，S4006=0 使Sn0成立的最大自然数n是4006 3(典型例题)设无穷等差数列an的前n项和为Sn. ()若首项a1=，公差d=1，求满足Sk2=(Sk)2的正整数k; ()求所有的无穷等差数列an；使得对于一切正整数中k都有Sk2=(Sk)2成立 考场错解 (1)当a1=,d=1时，Sn=n2+n，由Sk2=(Sk)2得k4+k2=，即k=0或k=4 k0故k=4 ()由对一切正整数k都有Sk2=(Sk)2成立 即k2a1+d=(ka1+)2即(a1-)k2-adk2(k-1)+k2(k2-1)-k2(k-1)2=0对切正整数k恒成立 故 求得a1
8、=0或1，d=0 等差数列an=0,0,0,，或an=1，1，1， 专家把脉 ()中解法定对一切正整数k都成立而不是一切实数故而考虑取k的特值也均成立 对症下药 ()当a1=,d=1时，Sn=na1+由Sk2=(Sk)2,得k4+k2=(k2+k)2，即k3=0.又k0，所以k=4 ()设数列an的公差为d，则在Sk2=(Sk)2中分别取k=1,2,得由（1）得a1=0或a1=1. 当a1=0时，代入（2）得d=0或d=6.若a1=0,d=0,则an=0,sn=0,从而Sk2=(Sk)2成立；若a1=0,d=6,则an=6(n-1),由S3=18，（S3）2=324,S9=216知S9(S3)
9、2，故所得数列不符合题意.当a1=1时,代入(2)得 4+6b=(2+d)2解得d=0或d=2.若a1=1,d=0,则an=1,Sn=n,从而Sk2=(Sk)2成立；若a1=1,d=2,则an=2n-1,Sn=1+3+（2n-1）=n2,从而Sk2=(Sk)2成立.综上,共有3个满足条件的无穷等差数列:an：an=0,即0，0，0，；an:an=1,即1，1，1，；an:an=2n-1,即1，3，5，.4.(典型例题)已知数列an的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=an(4-an),nN.(1)证明anan+12,nN.(2)求数列an的通项公式an.考场错解 用数学归纳法证明：（1）
10、1当n=1时，a0=1,a1=a0（4-a0）=,a0a12,命题正确.2假设n=k时有ak-1ak2.则n=k+1时，ak-ak+1=ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)=(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).而ak-1-ak0. 4-ak-1-ak0,ak-ak-10.又ak-1=ak(4-ak)=4-(ak-2)22.n=k+1时命题正确.由1、2知，对一切nN时有anan+12.(2)an+1=an(4-an)=-(an-2)2+4.2(an+1-2)=-(an-2)2an+1-2=(an-2)2令bn=an-2,b
11、n=-()1+2+2n-1又b1=a1-2=-.bn=-()2n+2n-1.即an=2-()2n+2n-1.专家把脉 在（）问中求bn的通项时，运用叠代法.最后到b0而不是b1.对症下药（）同上，方法二：用数学归纳法证明：1当n=1时，a0=1,a1=a0(4-a0)=,0a0a12;2假设n=k时有ak-1ak2成立，令f(x)= x(4-x),f(x)在0，2上单调递增，所以由假设有：f(ak-1)f(ak)f(2),即ak-1(4-ak-1)ak(4-ak) 2(4-2),也即当x=k+1时 akak+12成立，所以对一切nN,有akak+12(2)下面来求数列的通项：an+1=an(4
12、-an)=-(an-2)2+4,所以2（an+1-2）=-(an-2)2令bn=an-2,则bn=-=-(-)2=-()2=-（）1+2+2n-1b2n，又bn=-1,所以bn=-()2n-1,即an=2+bn=2-()2n-1专家会诊1.要善于运用等差数列的性质：“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”；等差数列前n项和符合二次函数特征.借助二次函数性质进行数形结合法解等差数列问题.2.会运用一般与特殊的逻辑思维,利用满足条件的特值求相关参数的值,学会分析问题和解决问题.考场思维训练1 在等差数列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-a11的值为 ( )A.14
13、B.15 C.16 D.17答案： C分析：略。2 等差数列an中,若其前n项的和Sn=,前m项的和Sm=(mn,m,nN*),则 ( )A.Sm+n4 B.Sm+nC.Sm+n=4 D.-4Sm+n-2答案： B分析：略。3 数列an是公差d0的等差数列，其前n项和为Sn,且a10=1,()求an的通项公式；答案：由已知a1+9d=1因为a因为d0,所以a9+a15=0,即a1+11d=0由解得()求S的最大值；答案：解an=6-得n12,所以，数列an前11，12和最大，()将Sn表示成关于an的函数.答案：由a4在数列an中a1=,a2=,且log2(3a2-a1)log(3an+1-an),是公差为-1的等差数列，又2a2-a1,2a3-a2,，2an+1-an,是等比数列，公比为q，|q|1,这个等比数列的所有项之和等于.(1)求数列an的通项公式;答案：设bn=log2(3an+1-an),因为 bn是等差数列，d=-1.b1=log2(3a2-a1)=log2即log2(3an+1-a)=-n,所以3an+1-an=2-n设cn=2an+1-an,cn是等比数列，公比为q,|q|1,c1=2a2-a1=2由
