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1、上课已开始约7分钟，教师组织学生复习了有关三角形的组成、三角形的各部分名称、角的分类、用量角器求角等知识与技能，然后要求每个学生在课前准备好的一张白纸上随意画一个三角形。师：大家都将三角形画好了吗？谁能说说，你是怎么画的？生：我先画了一条直线（师追问：直线吗？）是线段。然后再画另外两条线段，将它们连起来，就画出一个三角形了。教师请该生展示自己画的三角形，得到大家的认可。随后，教师又连续请了三位学生展示了自己画的三角形并说明画图过程。然后，教师引导学生分析每个人画的三角形是否一样，三角形的角是否一样。最后，组织学生用量角器将自己画的三角形的每个角都量一下，并将结果记录下来，前后四个同学相互讨论。
2、观察者附近的学生，大部分都是将量出的角的度数直接写在相应的角上，但有两个人是写在另外的练习纸上的。大约在25秒后，就开始有前后四个人分别查看其他人角的度量结果，并不时地争论着。整个学生量角活动（包括学生四人一组的讨论活动）大约持续50秒。期间，教师游走于学生中间，数次停下来，帮助个别学生一起量角。师：好，请大家都停下来了。谁能说说，你计算的结果是多少？学生回答有“一百七十九度”、“一百七十九度多一些”、“一百八十度”、“一百八十度不到”、“一百八十一度”师：那么你们发现了什么？生：每一个三角形的三个角加起来大小是不一样的。师：实际上它们都是一样大小的，因为量角器量出的角是不精确的，会出现什么情
3、况？（数生附和：有误差。）对，量角器在度量的时候是有误差的。大家看看，它们都在一个什么数的周围啊？生1：一百八十度。生2：不对，应该是一百七十九度。师：为什么？生2：大部分同学量出的都是一百七十九度左右。师：你的“左右”用得很好。如果我们从整十整百数的角度看，它们都在一个什么数的左右呢？生2（稍犹豫一下）：是一百八十。师：一百八十什么？生2：一百八十度。师：现在我们能得到结论了吗？（学生异口同声说“能”，但声音并不大。）谁愿意来说说？学：三角形的三个内角内角的和是一百八十哦一百八十度。该生开始表述不够严谨，教师连续三次提醒才准确说出结论。随后，教师又请一个学生复述一遍。师：这个结论准确吗？（停
4、约2秒）老师也来做一个实验，请大家一起来看看，这个结论究竟准确不准确，好吗？教师向学生展示一张预先准备好的大白纸，上面画有一个三角形。接着，教师用一把剪刀将三角形整个剪了下来，高高举起，提示学生仔细观察。然后，教师先用手撕下三角形的一个角，并将整个“角”放在投影仪上面，再撕下三角形的又一个角，也放在投影仪上，并与第一个角拼了起来，随后再撕下第三个角，放在投影仪上，与前面两个角拼好。师：现在你们发现了什么？仅有三个学生举起了手。生1：老师将三个角拼成了一百八十度。师：将三个什么角拼成了一百八十度？生1：三个内角。师：你怎么知道是一百八十度的？生1：因为因为是一条线段。师：对，一条线段说明是一个什
5、么角？生2：就是一个平角。师：平角是多少度？学2：一百八十度。师：通过老师的这个实验，你们发现了什么？（学生举手人数不多，停约45秒）能不能证明刚才我们说的结论是正确的？学（几乎异口同声）：能。课后访谈观察者：您为什么这么关注学生画三角形的过程？教师：没有啊！观察者：您不是连续请了四位学生来说说自己画三角形的过程吗？教师：哦，我是想让不同的学生多说几种方法，这会让他们感觉到每一个人的三角形是不同的。观察者：您认为，不同的画法能呈现出不同的三角形吗？教师：我想应该是的。观察者：实际上，如果让每一个学生将自己画的三角形都举起来，大家都来观察一下，会不会更有效？教师：也有道理。观察者：还有一个问题想
6、请教，您认为学生第一次用量角器实验得出的应该是一个什么样的结论？教师：（想了大约10秒钟）哦我原来以为学生会说，应该是180度，因为这些数字都接近180。这样我就可以接着问学生，是什么造成这些小的误差呢？可以让学生知道，有的时候，量（度量观察者注）的方法是不可信的。思考：这就是探究学习？一、问题的提出不难看出，这应该算是一堂好课。首先是教师并没有将“三角形内角和是180度”这样一个数学事实，用直接演示的方式来告诉学生，而是让每一个（至少在其主观上是想让每一个）学生通过自己的实验来体验，来观察，然后再通过教师的演示来设疑，从而思考并归纳出。但疑问也随之窦生：这真的就是我们所理解的探究活动？这真的
7、就是我们所认为的自主发现？引导儿童进行探究与发现的价值究竟何在？儿童的探究与发现究竟应是一种什么样的活动？这里的操作与实验，究竟是为了什么目的，或者说是为了追求什么样的目标？于是，我们便可能会试图去弄清：其一，教师的课堂教学组织，究竟是知道重要？还是发现重要？究竟是获得数学事实重要？还是让学生经历过程重要？其二，于是，第二个问题也就随之而来了：学生通过自己的活动，得出“每一个三角形的内角和是不一样的”这样的结论究竟有没有价值？那么，通过这次的学习，学生除了知道了“三角形内角和是180度”这样的数学事实之外，他们还获得了些什么？或者说他们还学到了些什么？数学思维？探究策略？发现意识？创新能力？二
8、、认识上的反思今天，我们已经逐渐开始就“发展学生的数学素养”为小学数学教育的基本价值追求而达成了一定的共识。在这里，学会数学的思考，学会主动地探究，学会与人交流等都是基本的素养，而这种素养是要靠主体的实践性活动来逐渐获得的。这样，数学教育就应当成为让学生去亲自体验一下数学问题解决的一种活动。不要总是将详细整理好的证明（事实）材料提供给学生，而是尽可能地让学生通过自己仔细的观察、粗略的发现和简单的证明来获得探究的真实体验。只有这样，才有可能使学生跨出超越局部的、非单纯接受的问题解决的第一步。可见，在小学数学学习中倡导儿童自主的探究活动，其目的并不是简单地证明事实，而是努力使学生能获得发现。就像兰
9、本达(LansdownBrenda)等人认为的那样，要让学习者去获得“探究意义的经历”。因为，任何发现意义、领会意义都是学习者自己经历、卷入和参与的结果。正因为我们的儿童天生就具有强烈的好奇心，总是想通过触摸等手段来达到探索周围环境的目的，并在这种探索中产生一种要与周围人进行交流以及与同伴分享发现的强烈愿望的特点，因而在学习中，材料往往就是激发、引起探索“经历”的有效的刺激源。也正是通过这种刺激，儿童才有可能去真正地自主地投入到活动中，才有可能“个性化”地参与到学习之中去。当然，数学学习并不是要儿童一味去模仿数学家发现或创造数学的过程，但应该成为学生经历一个真正的“再发现”与“再创造”的过程。
10、那么，可能需要进一步解释的就是这个“过程”与“经历”的根本意义是什么？儿童的数学学习自然是一种在教师引导下的数学活动，但这个“过程”却应该是儿童自己的。它至少表现在：第一，面对一个情境，自己发现了什么？提出了哪些问题？第二，面对任务，自己做了什么样的猜测或假设？自己是如何去设计并行动探索方法的？第三，面对初步的发现，自己是怎样去辨析和修正的？自己又获得了哪些新的信息和新的体验？第四，面对教师的提问或演示，自己想到了些什么？反思自己的探究过程，自己有了哪些新的启示？如此等等。那么，我们可能就会进一步思考，教师的演示，究竟将支持学生什么样的数学思维？如果教师的演示不但呈现了“疑问”，还通过自己的肢
11、体语言呈现了结论，则思维的价值又何在？从发现问题的特征看，主体的思考往往是从疑问开始的。疑问就是激发人类探索未知、获得发展的动力，就是催动个体去寻求更多的发现、更多的创造的目标，就是我们进行比较、实验、猜测、证明甚至产生直觉、顿悟等发现性探究活动的起点。实际上，小学数学教学真正要转变学生的学习方式，就应当为学生的主动探索与发现提供一个空间与机会，让学生能主动地面对问题情境，主动积极地去进行探索（尝试与猜测、实验与推论，等等），去发现，从而学会如何用已有的经验去面对复杂的问题情景。只有让他们真正去经历主动的假设，积极的探究，努力的尝试，及时的反思，不断的修正等这样的一系列的行为过程，才能刺激儿童
12、数学思考与探究能力的发展。三、简要的分析首先，从案例中可以明显地感觉到，教师将学习目标主要还是指向了结论一个陈述性的数学事实，而并没有太多地去关注学生通过自己的尝试操作和探究，将有可能形成哪些探究的意识，获得哪些探究的策略，掌握哪些探究的方法。其次，教师采用的探究策略显然是浅层次的。它主要表现在：第一，学生并没有真正经历一个“疑问欲求猜测尝试发现”这样一个探究的过程；第二，学生的行为参与似乎是积极的，但是，仔细分析一下就可以发现，学生的认识参与是属于浅层次的依赖型的参与，缺少独立的探究意识。最后，教师的设问引导也是浅层次的。表现在：第一，当教师的演示与学生刚获得的初步结论产生明显的认知冲突时，
13、教师并没有很好地利用这个关键，而是用了明显的体态语言就将学生可能的惊异、思考和探究消解了；第二，教师的那些所谓的问题明显具有“小碎步”的特点，问题以及问题之间缺少思索的空间。案例二课堂观察上课已开始约7分钟，教师组织学生复习了有关三角形的组成、三角形的各部分名称、角的分类、用量角器求角等知识与技能。教师请每一个学生任意画两个三角形，然后观察自己画的三角形以及周围同学画的三角形，说说自己都发现了些什么？学生基本上都说出了这些三角形的相同点，同时也说出了这些三角形的角的大小是不一样的这样的特点。于是，教师提出了这样的问题。师（举起向学生“借来”的两个三角形）：大家都认为这两个三角形的三个角大小都不
14、一样（用手指依次指点着两个三角形对应的内角，并用手指示意它们大小的不同）。于是，我们就想，将这两个三角形的三个角分别加起来后，它们的大小会是一样呢，还是不一样？学生意见不一。师：你用什么来证明你自己的猜测呢？先小组讨论一下，然后去验证。很快各小组陆续拿出量角器量自己画的三角形的三个角，有的将数据记录在自己画的三角形的相应的角上，有的则是记录在画三角形的纸的边上。教师提供给学生活动的时间约4分钟，观察者发现大部分学生已经完成了工作。师：好，现在请大家来交流一下。先要说说你的猜测，然后再来说说你验证的结果。生1：我认为是不一样的。我先量了自己画的三角形的三个角，加起来后是180度不到一点，而量出来的是179度。师：所以生1：所以我的猜测是对的。生2：我原来猜测它们也是不一样的。因为我量出来的是181度，和他们两个都不一样。所以，我的猜测是对的。生3：我原来猜测它们是一样的，结果，我量出来的是180度，和他们都不一样。所以，我的猜测错了。教师又请了几位学生，量出来的数值都不一样。师：现在我们可以得到什么结论了呢？师：三角形的这三个角（举起一张学生画的三角形，用手指比划着），我们把它称作“内角”（板书）。生：因为每个三角形是不同的，所以，它们的三个角加起来的结果也是不同的。
