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1、第五讲构造平行四边形巧解几何问题【教学目标】1. 巩固平行四边形的相关知识；2. 学会添恰当的辅助线构造出平行四边形；3. 掌握构造平行四边形的解题技巧。【知识、方法梳理】1. 平行四边形边的性质：（1）对边平行；（2）对边相等。作用：用在与线段有关的题目中。2. 平行四边形角的性质：（2）对角互补；邻角互补。作用：用在与角度有关的题目中。3. 平行四边形对角线的性质：互相平分。作用：用在与线段有关的题目中。典例精讲】一、构造平行四边形证两线段平行例1已知如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O , E、F分别为OB、OD 的中点，过O任作一直线分别交AB、CD于G、G。求证：GF#E
2、H。【证明】：连结GE、FH四边形ABCD是平行四边形 OA = OC , ZBAO = ZDCO，又. ZAOG = ZCOH:.AAOGACOH:.OG = OH又 OE二OF 四边形EHFG是平行四边形. GF#EH二、构造平行四边形证两线段相等例2.如图，AABC中，D在AB 上, E在AC的延长线上，BD二CE连结DE，交BC于 F，ABAC外角的平分线交BC的延长线于G,且AG#DE。求证：BF二CF。【分析】：过点c作CMAB交DE于点M，可以证明BD二CM，然后再利用平行四边 形的性质得到BF = CF。【证明】：过点C作CMAB交DE于点M，连接BM、CD，则ACME = Z
3、ADE AGIIDE 且 Z1 = Z2. ZADE = Z1，ZE = Z2. ZCME 二 ZE. CM 二 CE 二 BD四边形bmcd为平行四边形 故BF二CF三.构造平行四边形证线段的不等关系AC归结到一个三角形中，利用三角形任意两边之和大于第三边来证明。注意到AD为AABC的 中线，故可考虑延长AD到E，使DE = AD，则四边形ABEC为平行四边形。从而问题得 证。【证明】：延长AD到E，使DE = AD，连结BE、ECAD = DE, BD二DC四边形ABEC是平行四边形. BE 二 AC在 AABE 中，AE AB + BE 即 2AD AB + AC AD BD.在 ABD
4、E 中，ZDBCZE. ADBOAACB七、构造平行四边形证线段的和差关系例 7.如图，AABC 中，点 E、F 在边 AB 上, AE = BF， ED#AC#FG o 求证：ED + FG = AC o【证明】：过E作EH#BC交AC于HEH#BC，ED#AC四边形CHED为平行四边形EH#BC，FG#AC. ZAEH = ZB，ZA = ZBFG 又 AE = BF. AAEHAFBCAH = FG HC 二 ED. ED + FG = AH + HC 二 AC【双基训练】1.如图，在梯形BCED中，DEBC延长BD、CE交于A，在BD上截取BF二AD。过 F 作 FGBC 交 EC 于
5、 G，求证：DE + FG 二 BC。2.如图，AABC中，AB = AC， E是AB上一点，F是AC延长线上一点，BE = CF , EF 交 BC 于 D。求证：DE = DF。3.如图，平行四边形ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且AE = CF , BG = DH，求证：EF与GH互相平分。C【纵向应用】4.如图，已知AB = AC , B是AD的中点，E是AB的中点，求证CD = 2CE。5.已知：如图，在四边形ABCD中，AB二DC , AD二BC，点E在BC上，点F在AD 上, AF二CE，EF与对角线BD相交于点O，求证：O是BD的中点。【横向拓展】6.如图，AAB
6、C中，ZABC = 90， E为AC的中点。操作：过点C做BE的垂线，过点A 作BE的平行线，两直线相交于点。D,在AD的延长线上截取DF = BE，联结EF、BD .(1) 试判断EF与BD之间有怎样的关系，并证明你所得的结论；(2) 如果 AF = 13，CD = 6，求 AC 的长。【练习题答案】1. 过点F作FMAC交BC于点M，则有平行四边形FMCG o2. 过点E作EGIIAC交BC于G，连结CE、GF。3. 连结 FH、HE、EG、GF。4. 延长CE至F，使EF = CE，连结AF、BF。5. 连结 BF、DE AB 二 DC，AD 二 BC四边形ABCD是平行四边形. FDI
7、BE又 AD 二 BC，AF 二 CE. FD 二 BE四边形BEDF是平行四边形O是BD的中点。6. 【解答】：（1）如图，EF与BD互相垂直平分。证明如下：连结DE、BF， BE =7/ DF，四边形 BEDF是平行四边形.CD 丄 BE，CD丄AD，VZABC=90, E为AC 的中点，1.BE 二 DE 二一AC，四边形BEDF是菱形.EF与BD互相垂直平分.(2)设DF = BE = x，则AC = 2x， AD = AF-DF = 13-x 在 RtA ACD 中，V AD2 + CD2 = AC2，(13 x)2 + 62 = (2x)2.3x2 + 26x 205 = 0, x = 41(舍去)，x = 5.1 2 AC = 100.
