《第5讲构造平行四边形巧解几何问题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第5讲构造平行四边形巧解几何问题(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第五讲构造平行四边形巧解几何问题【教学目标】1. 巩固平行四边形的相关知识;2. 学会添恰当的辅助线构造出平行四边形;3. 掌握构造平行四边形的解题技巧。【知识、方法梳理】1. 平行四边形边的性质:(1)对边平行;(2)对边相等。作用:用在与线段有关的题目中。2. 平行四边形角的性质:(2)对角互补;邻角互补。作用:用在与角度有关的题目中。3. 平行四边形对角线的性质:互相平分。作用:用在与线段有关的题目中。典例精讲】一、构造平行四边形证两线段平行例1已知如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O , E、F分别为OB、OD 的中点,过O任作一直线分别交AB、CD于G、G。求证:GF#E
2、H。【证明】:连结GE、FH四边形ABCD是平行四边形 OA = OC , ZBAO = ZDCO,又. ZAOG = ZCOH:.AAOGACOH:.OG = OH又 OE二OF 四边形EHFG是平行四边形. GF#EH二、构造平行四边形证两线段相等例2.如图,AABC中,D在AB 上, E在AC的延长线上,BD二CE连结DE,交BC于 F,ABAC外角的平分线交BC的延长线于G,且AG#DE。求证:BF二CF。【分析】:过点c作CMAB交DE于点M,可以证明BD二CM,然后再利用平行四边 形的性质得到BF = CF。【证明】:过点C作CMAB交DE于点M,连接BM、CD,则ACME = Z
3、ADE AGIIDE 且 Z1 = Z2. ZADE = Z1,ZE = Z2. ZCME 二 ZE. CM 二 CE 二 BD四边形bmcd为平行四边形 故BF二CF三.构造平行四边形证线段的不等关系AC归结到一个三角形中,利用三角形任意两边之和大于第三边来证明。注意到AD为AABC的 中线,故可考虑延长AD到E,使DE = AD,则四边形ABEC为平行四边形。从而问题得 证。【证明】:延长AD到E,使DE = AD,连结BE、ECAD = DE, BD二DC四边形ABEC是平行四边形. BE 二 AC在 AABE 中,AE AB + BE 即 2AD AB + AC AD BD.在 ABD
4、E 中,ZDBCZE. ADBOAACB七、构造平行四边形证线段的和差关系例 7.如图,AABC 中,点 E、F 在边 AB 上, AE = BF, ED#AC#FG o 求证:ED + FG = AC o【证明】:过E作EH#BC交AC于HEH#BC,ED#AC四边形CHED为平行四边形EH#BC,FG#AC. ZAEH = ZB,ZA = ZBFG 又 AE = BF. AAEHAFBCAH = FG HC 二 ED. ED + FG = AH + HC 二 AC【双基训练】1.如图,在梯形BCED中,DEBC延长BD、CE交于A,在BD上截取BF二AD。过 F 作 FGBC 交 EC 于
5、 G,求证:DE + FG 二 BC。2.如图,AABC中,AB = AC, E是AB上一点,F是AC延长线上一点,BE = CF , EF 交 BC 于 D。求证:DE = DF。3.如图,平行四边形ABCD中,E、G、F、H分别是四条边上的点,且AE = CF , BG = DH,求证:EF与GH互相平分。C【纵向应用】4.如图,已知AB = AC , B是AD的中点,E是AB的中点,求证CD = 2CE。5.已知:如图,在四边形ABCD中,AB二DC , AD二BC,点E在BC上,点F在AD 上, AF二CE,EF与对角线BD相交于点O,求证:O是BD的中点。【横向拓展】6.如图,AAB
6、C中,ZABC = 90, E为AC的中点。操作:过点C做BE的垂线,过点A 作BE的平行线,两直线相交于点。D,在AD的延长线上截取DF = BE,联结EF、BD .(1) 试判断EF与BD之间有怎样的关系,并证明你所得的结论;(2) 如果 AF = 13,CD = 6,求 AC 的长。【练习题答案】1. 过点F作FMAC交BC于点M,则有平行四边形FMCG o2. 过点E作EGIIAC交BC于G,连结CE、GF。3. 连结 FH、HE、EG、GF。4. 延长CE至F,使EF = CE,连结AF、BF。5. 连结 BF、DE AB 二 DC,AD 二 BC四边形ABCD是平行四边形. FDI
7、BE又 AD 二 BC,AF 二 CE. FD 二 BE四边形BEDF是平行四边形O是BD的中点。6. 【解答】:(1)如图,EF与BD互相垂直平分。证明如下:连结DE、BF, BE =7/ DF,四边形 BEDF是平行四边形.CD 丄 BE,CD丄AD,VZABC=90, E为AC 的中点,1.BE 二 DE 二一AC,四边形BEDF是菱形.EF与BD互相垂直平分.(2)设DF = BE = x,则AC = 2x, AD = AF-DF = 13-x 在 RtA ACD 中,V AD2 + CD2 = AC2,(13 x)2 + 62 = (2x)2.3x2 + 26x 205 = 0, x = 41(舍去),x = 5.1 2 AC = 100.