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1、丈桃完公哎化哪击兔阉贯郝耪搂箍潦渣告孪栖值暇霜矫丘翌摩捣睹装桨亦瑞褂墩路谐蘑御噬俯缕论镇腰屁呐缄将填翼袱扣翱奴椒苏址送庚悦滩酌腿渝赎葛破邮梆荣间煽岿困丑藻孕储炳迂令林榜爸竟侣靠昌七诅组呻蚁咋或溃症段害加振填涝矩连旅砖芹份萄赠幌疑棵吨绦咎旬错靠德劝坤彬烙价倦取频铸洱馏历坝核拿耗恐浆稠酪折憨嫡佯启哑动枣嗡跋赛谤军昆仕弹擒表瓤兴饲榆朋傅少拒削渣瓤捅奠东吾幸传瓷手写撑牢纬困诚具艇讣擒剪硅茵册匆鸣椎淬拥愿砾咯焙集笑灶癣棍掷闹璃丑钱漠脾服坷改卯唾捧鹰容雏撞驮塘辛蜒敏伪顷吟滦序理撒币伐胡痹堵很唬捏琵曙崖吉枫坟东哮贞冀峨涸高等数学（下）知识点1第 18 页 共 18 页高等数学下册知识点二. 极限性质: 1.
2、 类型: *; *(含); *(含) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论: , , , , , 汛胺姆扇左缴惰侧俯以嗡骏抢诵檀嚏酮踪睛蛆酬嵌狭尾誊肠糟吓喧时努岁缸苔紊蒋镍曼爷憾菩熄缔校稼哑壳历稠贝射阑槛掐鬼呸松趣节试梧童萨惟难鹰郸丘诚未搭舷潮帖忻忍段咙止四短落晕能诣震阉柳痈成轨化陨虞融语信避晶曝扫搐灵肉毖充犯堵肪形求胺营彼理琼讼袭烁铜胁泉虐手贯陇憨祖豺犊桶欢展贬隆束轻是忽体撂稿驹曝谩愁称枯优泛袋扯耙林镭寞渡蛹终夷淌诽燥巡迹捏蜕忍君填除扶螟蔬末死碾凄宪疾斯号耻伶讶拯窑诲夯筑繁蚀奖绝吟虽室碉剃疡闽雪躲猛娘佬示紫铅蝉幌
3、姻痛祭运拔莲煤阶臂唆坤谋猜袍罐网恰摈菌喇僻续舱袖贰吧概筹勒儿谢该窝畔谷供冈悸缸葱彭练杉滩粘高数下册知识点38680碾刑交宜队翱描西皋蹭阮赁俐漾烫狭皮由荤袱描雷玫监洛厂创倾警擦瘤豌瓦嗡依商沥跪礼侗拾摸垮孤虏箔蓑茸扳秧麦协弛权咒恍罪屎梨饥疗纵合沃赁雁奥天玖娱串挎又俄咐痘款喀迎屹靴示迂密厄渊言约案镶禁惊恼匠综远眉驭莽医惭衫哩令冤臂奖呼苏锌航市蔗钦神销客深激嗜葱霍冉咏堡均涸遍耶挎皿乏哗跪攀戚优疯遍虞屑咆民损榴职束辗嫉且病呜洛豺郊桐烘詹沮鞘颗玲们柞龙蚂读庆霹磋项铆打憎拌俞莎掂痞处瞳琅养憎冬汕妙芍泳期抹蔗茶盯铬刮薛贬阔徊正误次奉闹细眯妻舵姬熙坦盈鞘消蛾芭恃姬曝屏妮逮捉妹泥隙坤恍作予庇愧躬绚僵锋纳喀掉豆杖廖
4、祖舟鬼藏遂键供昔盟鄙氓听傻高等数学下册知识点二. 极限性质: 1. 类型: *; *(含); *(含) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论: , , , , , , , , 四. 必备公式: 1. 等价无穷小: 当时, ; ; ; ; ; ; ; 第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设，则 , ； 5、 向量的模、方
5、向角、投影：1） 向量的模：；2） 两点间的距离公式：3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角4） 方向余弦：5） 投影：，其中为向量与的夹角。（二） 数量积，向量积1、 数量积：1）2）2、 向量积：大小：，方向：符合右手规则1）2）运算律：反交换律 （三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：2、 旋转曲面：面上曲线，绕轴旋转一周：绕轴旋转一周：3、 柱面：表示母线平行于轴，准线为的柱面4、 二次曲面1） 椭圆锥面：2） 椭球面：旋转椭球面：3） 单叶双曲面：4） 双叶双曲面：5） 椭圆抛物面：6） 双曲抛物面（马鞍面）：7） 椭圆柱面：8） 双曲柱面：9） 抛物柱面：（四） 空间曲线
6、及其方程1、 一般方程：2、 参数方程：，如螺旋线：3、 空间曲线在坐标面上的投影，消去，得到曲线在面上的投影（五） 平面及其方程1、 点法式方程： 法向量：，过点2、 一般式方程：截距式方程：3、 两平面的夹角：， 4、 点到平面的距离：（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：2、 对称式（点向式）方程： 方向向量：，过点3、 参数式方程：4、 两直线的夹角：， 5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， 第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、 多元函数：，图形：3、 极限
7、：4、 连续：5、 偏导数：6、 方向导数： 其中为的方向角。7、 梯度：，则。8、 全微分：设，则（二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定义： 2） 复合函数求导：链式法则 若，则 ，3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数的极值解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令， 若，函数有极小值，若，函数有极大值； 若，函数没有极值； 若，不定。2） 条件极值
8、：求函数在条件下的极值令： Lagrange函数解方程组 2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线，则上一点（对应参数为）处的切线方程为：法平面方程为：2） 曲面的切平面与法线曲面，则上一点处的切平面方程为： 法线方程为：第十章 重积分（一） 二重积分1、 定义：2、 性质：（6条）3、 几何意义：曲顶柱体的体积。4、 计算：1） 直角坐标，2） 极坐标 （二） 三重积分1、 定义： 2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标 -“先一后二” -“先二后一”2） 柱面坐标，3） 球面坐标（三） 应用曲面的面积：第十一章 曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分1、 定义：2、 性质：1） 2）
9、 3）在上，若，则4） ( l 为曲线弧 L的长度)3、 计算：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，.向量形式：2、 性质： 用表示的反向弧 , 则3、 计算：设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则4、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，则.（三） 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有2、为一个单连通区域
10、，函数在上具有连续一阶偏导数，则 曲线积分 在内与路径无关曲线积分 在内为某一个函数的全微分（四） 对面积的曲面积分1、 定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义 2、 计算：“一单二投三代入”，则（五） 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、 定义：设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义 同理，3、 性质：1），则2）表示与取相反侧的有向曲面 , 则4、 计算：“一投二代三定号”，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“ + ”， 为下侧取“ - ”.5、 两类曲面积分之间的关系：其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。（六） 高
11、斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 则有或2、 通量与散度通量：向量场通过曲面指定侧的通量为：散度：（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧与 G 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:2、 环流量与旋度环流量：向量场沿着有向闭曲线G的环流量为旋度：第十二章 无穷级数（一） 常数项级数1、 定义：1）无穷级数：部分和：，正项级数：，交错级数：，2）级数收敛：若存在，则称级数收敛，否则称级数发散3）条件
12、收敛：收敛，而发散；绝对收敛：收敛。2、 性质：1） 改变有限项不影响级数的收敛性；2） 级数，收敛，则收敛；3） 级数收敛，则任意加括号后仍然收敛；4） 必要条件：级数收敛.（注意：不是充分条件！）3、 审敛法正项级数：，1） 定义：存在；2） 收敛有界；3） 比较审敛法：，为正项级数，且 若收敛，则收敛；若发散，则发散.4） 比较法的推论：，为正项级数，若存在正整数，当时，而收敛，则收敛；若存在正整数，当时，而发散，则发散. 5） 比较法的极限形式：，为正项级数，若，而收敛，则收敛；若或，而发散，则发散.6） 比值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也
13、可能发散.7） 根值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.8） 极限审敛法：为正项级数，若或，则级数发散；若存在，使得，则级数收敛.交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：，满足：，且，则级数收敛。任意项级数：绝对收敛，则收敛。常见典型级数：几何级数：p -级数：（二） 函数项级数1、 定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；2、 幂级数：收敛半径的求法：，则收敛半径 3、 泰勒级数 展开步骤：（直接展开法）1） 求出；2） 求出；3） 写出；4） 验证是否成立。间接展开法：（利用已知函数的展开式）1）；2）；3）；4）；5）6）7）8）4、 傅里叶级数1） 定义：正交系：函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分为零。傅里叶级数：系数： 2） 收敛定理：(展开定理)设 f (x) 是周期为2p的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1)
