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1、MN丄AC于点N，贝U MNB. 95等于（）r 16D.5专题五 中点的妙用联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到 中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。看到中点该想到什么？1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”3、 三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全 等三角形）；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积
2、的一半（中线平分三角形的面积）7、倍长中线8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一” 的性质1、如图 1 所示，在 ABC 中，AB=AC=5 , BC=6，点M为BC中点，A . 6二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中 线，等于斜边的一半”2、如图，在 Rt ABC 中，/ A=90AB上。且 AN=BM , O为斜边 BC的中点， 并说明理由,AC=AB,M试判断、N分别在OMN的形状,AC、N3、如图，正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.果点Q从点A出发，沿图中所示方向按 A
3、发，沿图中所示方向按BCD A点M所经过的路线围成的图形的面积为（A. 2B.4C.D.1BCDA滑动到点A为止，同时点F从点B出B滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段 QF的中5三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）如图，已知四边形 ABCD的对角线AC与BD相交于点0,且AC=BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出 0E与0F的大小关系并加以证明吗？C5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）如图所示，在三角形 ABC中，AD是三角形 ABC / BAC的角平 分线，BD丄AD，点
4、D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6,AC=14 ，求 DE 的长6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）如图所示，AB / CD , BC / AD , DE丄 BE , DF=EF，甲从 B 出发， 沿着BA、AD、DF的方向运动，乙 B出发，沿着 BC、CE、EF的方向 运动，如果两人的速度是相同的，且同时从 B出发，则谁先到达 F点？7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）如图，等腰梯形 ABCD中，CD / AB,对角线 AC、BD相交于点 0,ACD 60，点s、P、Q分别是DO、AO、BC的中点.求证： SPQ是等边三角形。四、两条线段相等，为
5、全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时, 常联想“八字型”全等三角形）D图6-18、如图：梯形 ABCD 中，/ A=90 ,AD/BC,AD=1,BC=2,CD=3, E为AB中点，求证：DE丄EC9、如图甲，在正方形 ABCD和正方形 CGEF （ CG BC ）中，点 B、C、G在同一直线上， M是 AE的中点，（1 ）探究线段 MD、MF的位置及数量关系，并证明；（2）将图甲中的正方形 CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形 ABCD 的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你G图乙五、有中点时常构造垂
6、直平分线BDC的猜想并加以证明如图1，延长ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA，若10、如图所示，在厶ABC中，AD是BC边上中线，/ C=2 / B.AC= 2 BC。求证： ADC为等边三角形。六、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）11、（ 1）探索：已知 ABC的面积为a ,ACD的面积为S1，贝y 3 = （用含a的代数式表示） 如图2，延长 ABC的边BC至到点 D，延长边 CA至到点 E,使CD=BC , AE=CA，连接 DE，若 DEC 的面积为 S2，贝U S2 =（用含a的代数式表示） 在图2的基础上延长 AB到点F,使BF=AB,连接FD, FE
7、得到DEF （如图3）,若阴影部分的面积为 S3, S3= （用含a的代数式表示）发现：像上面那样，将 ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF （如图4）,此时，我们称 ABC向外扩展了一次。可以发现，扩展一次后得到的 DEF的面积是原来 ABC面积的_倍 应用：如图5，若 ABC面积为1，第一次操作：分别延长 AB, BC , CA至点A1, B1, C1，使得 A1B=AB, B1C= BC, 6A=CA，顺次连结 A1, B1, 6，得到 A1B1C1.第二次操作：分别延长 A1B1, B1C1 , C1A1 至点 A2, B2, C2,使 A2B1= A1B1, B2C1
8、= B1C1, C2A1 = C1A1,顺次连结 A2, B2, C2，得 到厶A2B2C2，第三次操作 ，按此规律，要使得到的三角形的面积超过 2010，最少要 经过次操作.12、如图所示，已知梯形求证:春abe=2s四边形ABCD , AD / BC,点 E是 CD 的中点，连接 AE、 BE, ABCD。13、如图，M是i ABCD中AB边的中点。CM 交BD于点E,则图中阴影部分面积与 -ABCD面积之比为C14、如图所示，点 E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则S四边形AGCD等于：a、5B、- C、S矩形ABCD653 2D、-4 3七、倍长中线1
9、5、如图， ABC 中，D 为 BC 中点，AB=5，AD=6，AC=13。求证: AB 丄 ADA16、如图，点D、E三等分 ABC的BC边，求证：AB+ACAD+AE17、如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C ,分别 以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形 ACE与BCF，连 结 DE、DF、EF,求证： DEF为等腰直角三角形。八、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”18、半径是 5 cm 的圆中，圆心到 8 cm 长的弦的距离是 19、 半径为5cm的圆0中有一点P, 0P=4，则过P的最短弦长 ,最长弦是,20、 如图，在圆 0中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦
10、，0D丄AB, 0E丄AC，垂足分别为 D、E,若AC=2cm ，则圆 0的半径为 cm 。ADB21、如图，在O 0中，直径 AB和弦CD的长分别为10 cm和8 cm，贝U A、B两点到直线 CD的距离之和是.22、如图，O 0 的直径 AB 和弦 CD 相交于 E，若 AE = 2cm，BE= 6cm，/ CEA = 30，求：CD的长；23、某市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径， 小杰和小丽沿湖边选取 A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与 A、C之间的距离相等，并测得 BC长为240米，A到BC的距离为5米, 如图5所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。倍长中线:1. (2
11、011平谷二模)24.已知：如图，正方形 ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF, G为DF中点，连接 EG, CG .(1) 求证：EG=CG ;(2) 将图中厶BEF绕B点逆时针旋转45。，如图所示，取 DF中点G，连接EG, CG 问(1) 中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(3) 将图中厶BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？(均不要求证明)D2 . (2011 一模)25 .已知： ABC和厶ADE都是等腰直角三角形，/ ABC = / ADE=90。，点M是CE的中点，连接BM.(1) 如图，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为;(2) 如图，点 D不在AB上，(1)中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明
