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1、数列专题复习1已知三个实数成等差数列,如果最小的数乘以2,最大的数加上7,则成等比数列,且它们的积为1000,求等差数列的公差。解:因成等比数列的三个数的积为1000,故设成等比数列的三个数为(1)时,解得或(舍去)。此时2,10,18成等差数列,公差为8。(2)时,类似可求得公差为。2设是一个公差为的等差数列,它的前10项和且,成等比数列。(1)证明;(2)求公差的值和数列的通项公式.(1)证明:因,成等比数列,故,而是等差数列,有,,于是 ,即,化简得 (2)解:由条件和,得到,由(1),代入上式得,故 ,3一个首项为正数的等差数列中,前3项的和等于前11项的和(1) 若这个数列前n项和最
2、大,求n的值(2) 求该数列前14项的和分析 (1),说明第4项到第11项之和为0,因数列首项为正,故必然有一项为正且其后面一项为负,找到这一正负分界项,便得到n的值(2),显然不能求出的具体值,为此,只有设法探求与它们的关系解 (1)由已知,得,因数列首项为正,故公差,且,所求n的值为7(2)设首项为,公差为,,即,故4设数列是等差数列,是它的前n项的和,已知=7,=75,为数列的前n项的和,求解:(难度系数0.72)设数列的公差为,则,解之得:,所以;设,是等差数列,令,解得:,所以小于0,时,;所以当时,;当时,;所以5已知等差数列an中,a2=8,前10项和S10=185.(1)求通项
3、;(2)若从数列an中依次取第2项、第4项、第8项第2n项按原来的顺序组成一个新的数列bn,求数列bn的前n项和Tn.考查等差、等比数列性质、求和公式及转化能力.【解】 (1)设an公差为d,有解得a1=5,d=3an=a1+(n1)d=3n+2(2)bn=a=32n+2Tn=b1+b2+bn=(321+2)+(322+2)+(32n+2)=3(21+22+2n)+2n=62n+2n6.6已知数列的前项和,且,求.解:(难度系数0.72)因为,所以当时,两式相减,得:,所以,所以,所以,所以,经检验,也适合;所以.7已知数列中,且,求。解:由已知,得,且。当时,整理得:, ,所以, 。8已知数
4、列是等差数列,且 ()求数列的通项公式; ()令求数列前n项和的公式.()解:设数列公差为,则 又所以()解:令则由得 当时,式减去式,得 所以当时, 综上可得当时,;当时,9已知数列an中,是其前项的和,且对不小于2的正整数满足关系.(I)求、;(II)求数列an的通项.答案:(I)、;(II)数列an的通项.10数列an共有k项(k为定值),它的前n项和Sn=2n2+n(1nk,nN),现从k项中抽取一项(不抽首项、末项),余下的k-1项的平均值是79。(1)求数列an的通项。(2)求出k的值并指出抽取的第几项。答案(1)an=4n-1(1nk)(2)抽取的是第20项。11设正数数列的前n
5、项和Sn满足.求:(I)求数列的通项公式;(II)设的前n项和为Tn,求Tn解:(I) 2分得,整理得 4分是等差数列. 6分又 8分(II)10分12分12设是等比数列,已知, ,求: (1) ; (2) 数列的前项和解(难度系数0.60) (1) 因为,所以,所以;因为是等比数列,所以,;(2) 因为,所以时,两式相减得:,经检验也适合,所以.13设数列的前n项和为Sn,若是首项为S1各项均为正数且公比为q的等比数列. ()求数列的通项公式(用S1和q表示); ()试比较的大小,并证明你的结论.解:()是各项均为正数的等比数列. 当n=1时,a1=S1, 当6分()当n=1时,8分当 当q
6、=1时,当当13分综上可知: 当n=1时,当若 若14分14已知数列满足,它的前项和为,且,()求; ()已知等比数列满足,设数列的前项和为,求解:()由得,则数列是等差数列 2分因此, 5分()设等比数列的公比为,由,得,则, 7分 当时, 由-得, 10分当时, 12分15数列an的前n项和是Sn,数列bn满足:b1=a1,an=-Sn+n,bn+1=an+1an. (1)求证:数列bn是等比数列,并写出其通项公式; (2)求an的通项公式; (3)求.解(1)证明:an=-Sn+n,an+1=-Sn+1+n+1,故an+1-an=-an+1+1,an-an-1=-an+1, 从而(an+
7、1-an)-(an-an-1)=-(an+1-an),(an+1-an)=(an-an-1), 故. 4分 (2)提示:用叠加法求an=. 8分 (3)1. 12分16 数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-1,数列bn满足b1=2,bn+1=an+bn. (1)求数列an的通项公式; (2)数列bn的前n项和为Tn,求.解:(1)当n=1时,a1=2a1-1,a1=1, 2分 当n2时,an=Sn-Sn-1=2an-1-2an-1+1, an=2an-1. 4分 于是数列an是首项为1,公比为2的等比数列. an=2n-1. 6分 (2)bn+1=an+bn,bn+1-bn=2n-1.
8、从而bn-bn-1=2n-2, bn-1-bn-2=2n-3, b2-b1=1, 上式相加,得bn-b1=1+2+22+2n-2 =2n-1-1,又b1=2, bn=2n-1+1. 8分 Tn=b1+b2+bn=(20+21+2n-1)+n. =2n-1+n. 10分 . 12分17设数列an是公差不为零的等差数列,Sn是数列an的前n项和,且S32=9S2,S4=4S2,求数列an的通项公式.解:设等差数列an的公差为d,由Sn=na1+及已知条件得(3a1+3d)2=9(2a1+d), 4a1+6d=4(2a1+d). 6分 由得d=2a1,代入有, 解得a1=0或a1=.当a1=0时,d
9、=0,舍去. 因此a1=,d=. 故数列an的通项公式an=+(n-1)=(2n-1). 12分18 已知等差数列an的首项a1=1,公差d0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二、三、四项. (1)求数列an与bn的通项公式; (2)设数列cn对任意自然数n均有成立,求c1+c2+c3+c2003的值.解:(1)由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d0). 解得d=2,an=2n-1,可得bn=3n-1. 5分 (2)当n=1时,c1=3;当n2时,由=an+1-an,得cn=23n-1,故cn=9分 故c1+c2+c3+c2003=3+23+232+232002=32003. 12分19设数列前项和为,且(3,其中m为常数,m(1) 求证:是等比数列;(2) 若数列的公比q=f(m),数列满足求证:为等差数列,求.解(1)由是等比数列。(2)