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1、2013年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷一. 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分1函数的定义域是 2方程的解是 3抛物线的准线方程是 4函数的最小正周期是 5已知向量，。若，则实数 6函数的最大值是 7复数（是虚数单位）的模是 8在中，角所对边长分别为，若，则 9在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为 D1C1B1A1DCAB10从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为 （结果用数值表示）。11若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前项和 。1236的所有
2、正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为 二选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分13展开式为的行列式是（ ） （A） (B) (C) (D) 14设为函数的反函数，下列结论正确的是（ ）(A) (B) (C) (D) 15直线的一个方向向量是（ ）(A) (B) (C) (D) 16函数的大致图像是（ ）0xy0xyBA0xyC0xyD17如果，那么下列不等式成立的是（ ）(A) (B) (C) (D)
3、18若复数满足，则在复数平面上对应的点（ ） (A) 关于轴对称 (B)关于轴对称(C) 关于原点对称 (D)关于直线对称19 的二项展开式中的一项是（ ）（A） （B） （C） （D）20既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（ ）（A） （B） （C） （D）21若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（ ）（A） （B） （C） （D）22设全集，下列集合运算结果为的是（ ）（A） （B） （C） （D）23已知，“”是“函数的图像恒在轴上方”的（ ）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件24已知为平面内两定点，过该平面内动点作直线的垂
4、线，垂足为.若，其中为常数，则动点的轨迹不可能是（ ）（A）圆 （B） 椭圆 （C） 抛物线 （D）双曲线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤25（本题满分7分）如图，在正三棱锥中，异面直线与所成角的大小为，求该三棱柱的体积。B1A1C1ACB26（本题满分7分）如图，某校有一块形如直角三角形的空地，其中为直角，长米，长米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。ABC27（本题满分8分）已知数列的前项和为，数列满足，求。 28（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分 已
5、知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为（1）若为等边三角形，求椭圆的方程;（2）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程。29（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分已知抛物线 的焦点为。（1）点满足。当点在抛物线上运动时，求动点的轨迹方程；（2）在轴上是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上？如果存在，求所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由。30（本题满分13分）本题共有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分9分 在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴上，其横坐标为，且 是首项为1、公比为2的等比数列，记，。（1
6、）若，求点的坐标；（2）若点的坐标为，求的最大值及相应的值。P20xyAP1P3P431（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分已知真命题：“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数 是奇函数”。来源:学科网ZXXK（1）将函数的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标；（2）求函数 图像对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数 是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题，请给予证明；如果是假命题
7、，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）。 2013年上海市普通高等学校春季招生考试 数 学 试 卷 参考答案一（第1至12题）每一题正确的给3分，否则一律得0分1 23 3 4 5 6 57 8 7 9 10 11 12 4836 二（第13至24题）每一题正确的给3分，否则一律得0分13B 14B 15D 16A 17D 18A 19C 20B 21C 22A 23D 24C三（第25至31题）25解因为 .所以为异面直线与.所成的角，即=。在Rt中，,从而,因此该三棱柱的体积为.26解如图，设矩形为, 长为米，其中，ABCFPE健身房占地面积为平方米。因为
8、，以，,求得，从而，当且仅当时，等号成立。答：该健身房的最大占地面积为500平方米。27解当时，。且，所以。因为，所以数列是首项为1、公比为的无穷等比数列。故。28解（1）设椭圆的方程为。根据题意知， 解得，故椭圆的方程为。（2）容易求得椭圆的方程为。当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为。由 得。设，则因为，所以,即 ，解得，即。故直线的方程为或。29（1）设动点的坐标为，点的坐标为,则,因为的坐标为，所以，由得。即 解得代入，得到动点的轨迹方程为。（2）设点的坐标为.点关于直线的对称点为，则 解得若在上，将的坐标代入，得，即或。所以存在满足题意的点，
9、其坐标为和。30解（1）设，根据题意，。由，知，而，所以，解得或。故点的坐标为或。（2）由题意，点的坐标为，。因为，所以，当且仅当，即时等号成立。易知在上为增函数，因此，当时，最大，其最大值为。31（1）平移后图像对应的函数解析式为，整理得，由于函数是奇函数，由题设真命题知，函数图像对称中心的坐标是。（2）设的对称中心为，由题设知函数是奇函数。设则，即。由不等式的解集关于原点对称，得。此时。任取，由，得，所以函数图像对称中心的坐标是。（3）此命题是假命题。举反例说明：函数的图像关于直线成轴对称图像，但是对任意实数和，函数，即总不是偶函数。修改后的真命题：“函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”。
