《2000-2011年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案(试》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2000-2011年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案(试(66页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2011年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷(2011年12月4日 上午9:0011:00)题号一(18)二总分9101112得分评卷复核解答本试卷可以使用科学计算器一、 填空题(每题分,共分)1. 已知关于的两个方程:,其中。若方程中有一个根是方程的某个根的倍,则实数的值是_。2. 已知梯形中,/,则梯形的面积为_。3. 从编号分别为,的张卡片中任意抽取张,则抽出卡片的编号都大于等于的概率为_。4. 将个数,排列为,使得的值最小,则这个最小值为_。5. 已知正方形的边长为,分别是边,上的点,使得,线段与相交于点,则四边形的面积为_。6. 在等腰直角三角形中,是内一点,使得,则边的长为_。7.
2、有名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场),规定获胜得分,平局得分,负得分。比赛结束后,发现每名选手的得分各不相同,且第名的得分是最后五名选手的得分和的,则第名选手的得分是_。8. 已知,都是质数(质数即素数,允许,有相同的情况),且是个连续正整数的和,则的最小值为_。二、 解答题(第,题,每题分,第,题,每题分,共分)9. 如图,矩形的对角线交点为,已知,角的平分线与边交于点,直线与相交于点,直线与相交于点M。求证:。解10. 对于正整数,记。求所有的正整数组,使得,且。解11. (1)证明:存在整数,满足;(2)问:是否存在整数,满足证明你的结论。解12. 对每一个大于的整数,设它的
3、所有不同的质因数为,对于每个,存在正整数,使得,记例如,。(1)试找出一个正整数,使得;(2)证明:存在无穷多个正整数,使得。解2010年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷一、填空题(第15小题,每题8分,第610小题,每题10分,共90分)1. 已知,则_。2. 满足方程的所有实数对为_。3. 已知直角三角形ABC中,CD为的角平分线,则_。4. 若前2011个正整数的乘积能被整除,则正整数的最大值为_。5. 如图,平面直角坐标系内,正三角形ABC的顶点B,C的坐标分别为(1,0),(3,0),过坐标原点O的一条直线分别与边AB,AC交于点M,N,若OM=MN,则点M的坐标为_。6. 如图,矩
4、形ABCD中,AB=5,BC=8,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,使得AE=2,BF=5,DG=3,AH=3,点O在线段HF上,使得四边形AEOH的面积为9,则四边形OFCG的面积是_。7. 整数满足,且关于的一元二次方程的两个根均为正整数,则_。8. 已知实数满足且。设是方程的两个实数根,则平面直线坐标系内两点之间的距离的最大值为_。9. 如图,设ABCDE是正五边形,五角星ACEBD(阴影部分)的面积为1,设AC与BE的交点为P,BD与CE的交点为Q,则四边形APQD的面积等于_。10. 设是整数,且能被9整除,则的最小值是_,最大值是_。二、 解答题(每题15分,共60
5、分)11. 已知面积为4的的边长分别为,AD是的角平分线,点是点C关于直线AD的对称点,若与相似,求的周长的最小值。12. 将1,2,9这9个数字分别填入图1中的9个小方格中,使得7个三位数和都能被11整除,求三位数的最大值13. 设实数满足,且,求的最大值和最小值14. 称具有形式的数为“好数”,其中都是整数(1)证明:100,2010都是“好数”。(2)证明:存在正整数,使得是“好数”,而不是“好数”。2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题(2009年12月6日)一、填空题(第1-5小题每题8分,第6-10小题每题10分,共90分)1、对于任意实数a,b,定义,ab=a(a+b) +b,
6、已知a2.5=28.5,则实数a的值是 。 2、在三角形ABC中,其中a,b是大于1的整数,则b-a= 。 3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可能是 。4、已知关于x的方程有实根,并且所有实根的乘积为2,则所有实根的平方和为 。5、如图,直角三角形ABC中, AC=1,BC=2,P为斜边AB上一动点。PEBC,PFCA,则线段EF长的最小值为 。6、设a,b是方程的两个根,c,d是方程的两个根,则(a+ c)( b + c)( a d)( b d)的值 。7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2),函数y=kx1 的图像与线段PQ 延长线相交(交点
7、不包括Q),则实数k的取值范围是 。8方程xyz=2009的所有整数解有 组。9如图,四边形ABCD中AB=BC=CD,ABC=78,BCD=162。设AD,BC延长线交于E ,则AEB= 。 10、如图,在直角梯形ABCD中,ABC=BCD= 90,AB=BC=10,点M在BC上,使得ADM是正三角形,则ABM与DCM的面积和是 。二、(本题15分)如图,ABC 中ACB =90,点D在CA上,使得CD=1, AD=3,并且BDC=3BAC,求BC的长。三、(本题15分)求所有满足下列条件的四位数,其中数字c可以是0。四、(本题15分)正整数n满足以下条件:任意n个大于1且不超过2009的两
8、两互素的正整数中,至少有一个素数,求最小的n。五、(本题15分)若两个实数a,b,使得,与都是有理数,称数对(a,b)是和谐的。试找出一对无理数,使得(a,b)是和谐的;证明:若(a,b)是和谐的,且a+b是不等于1的有理数,则a,b都是有理数;证明:若(a,b)是和谐的,且是有理数,则a,b都是有理数;2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答一、填空题(第1-5小题每题8分,第6-10小题每题10分,共90分)1、对于任意实数a,b,定义,ab=a(a+b) +b, 已知a2.5=28.5,则实数a的值是 。 【答案】4,2、在三角形ABC中,其中a,b是大于1的整数,则b-a= 。 【答
9、案】03、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可能是 。【答案】50,944、已知关于x的方程有实根,并且所有实根的乘积为2,则所有实根的平方和为 。【答案】55、如图,直角三角形ABC中, AC=1,BC=2,P为斜边AB上一动点。PEBC,PFCA,则线段EF长的最小值为 。【答案】6、设a,b是方程的两个根,c,d是方程的两个根,则(a+ c)( b + c)( a d)( b d)的值 。【答案】27727在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2),函数y=kx1 的图像与线段PQ 延长线相交(交点不包括Q),则实数k的取值范围是 。【答案】8方程
10、xyz=2009的所有整数解有 组。【答案】729如图,四边形ABCD中AB=BC=CD,ABC=78,BCD=162。设AD,BC延长线交于E ,则AEB= 。【答案】21 10、如图,在直角梯形ABCD中,ABC=BCD= 90,AB=BC=10,点M在BC上,使得ADM是正三角形,则ABM与DCM的面积和是 。【答案】二、(本题15分)如图,ABC 中ACB =90,点D在CA上,使得CD=1, AD=3,并且BDC=3BAC,求BC的长。解:设BC=x,则,如图,作ABD平分线BE,则,因此。由角平分线定理可知。因此,解得三、(本题15分)求所有满足下列条件的四位数,其中数字c可以是0
11、。解:设,,则,故有整数解,由于10 x 100,故y0。因此是完全平方数,可设,故,0 50- t50+ t 之和为100,而且其中有11的倍数,只能有50t= 1或50t=45,相应得到y=1,25,代入解得因此。四、(本题15分)正整数n满足以下条件:任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中,至少有一个素数,求最小的n。解:由于这14个合数都小于2009且两两互质,因此n15。而n=15时,我们取15个不超过2009的互质合数的最小素因子,则必有一个素数47,不失一般性设,由于是合数的最小素因子,因此,矛盾。因此,任意15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述,
12、n最小是15。五、(本题15分)若两个实数a,b,使得,与都是有理数,称数对(a,b)是和谐的。试找出一对无理数,使得(a,b)是和谐的;证明:若(a,b)是和谐的,且a+b是不等于1的有理数,则a,b都是有理数;证明:若(a,b)是和谐的,且是有理数,则a,b都是有理数;解:不难验证是和谐的。由已知是有理数,是有理数,因此,解得是有理数,当然b=sa也是有理数。若,则是有理数,因此也是有理数。若,由已知是有理数,也是有理数,因此,故是有理数,因此也是有理数。2008年新知杯上海市初中数学竞赛一、填空题:1、如图:在正中,点、分别在边、上,使得,与交于点,于点.则_.2、不等式对于一切实数都成立.则实数的最大值为_