《2000-2011年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案(试》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2000-2011年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案(试（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2011年12月4日 上午9:0011:00）题号一（18）二总分9101112得分评卷复核解答本试卷可以使用科学计算器一、 填空题（每题分，共分）1. 已知关于的两个方程：，其中。若方程中有一个根是方程的某个根的倍，则实数的值是_。2. 已知梯形中，/，则梯形的面积为_。3. 从编号分别为，的张卡片中任意抽取张，则抽出卡片的编号都大于等于的概率为_。4. 将个数，排列为，使得的值最小，则这个最小值为_。5. 已知正方形的边长为，分别是边，上的点，使得，线段与相交于点，则四边形的面积为_。6. 在等腰直角三角形中，是内一点，使得，则边的长为_。7.
2、有名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得分，平局得分，负得分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第名的得分是最后五名选手的得分和的，则第名选手的得分是_。8. 已知，都是质数（质数即素数，允许，有相同的情况），且是个连续正整数的和，则的最小值为_。二、 解答题（第，题，每题分，第，题，每题分，共分）9. 如图，矩形的对角线交点为，已知，角的平分线与边交于点，直线与相交于点，直线与相交于点M。求证：。解10. 对于正整数，记。求所有的正整数组，使得，且。解11. （1）证明：存在整数，满足；（2）问：是否存在整数，满足证明你的结论。解12. 对每一个大于的整数，设它的
3、所有不同的质因数为，对于每个，存在正整数，使得，记例如，。（1）试找出一个正整数，使得；（2）证明：存在无穷多个正整数，使得。解2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷一、填空题（第15小题，每题8分，第610小题，每题10分，共90分）1. 已知，则_。2. 满足方程的所有实数对为_。3. 已知直角三角形ABC中，CD为的角平分线，则_。4. 若前2011个正整数的乘积能被整除，则正整数的最大值为_。5. 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM=MN，则点M的坐标为_。6. 如图，矩
4、形ABCD中，AB=5，BC=8，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O在线段HF上，使得四边形AEOH的面积为9，则四边形OFCG的面积是_。7. 整数满足，且关于的一元二次方程的两个根均为正整数，则_。8. 已知实数满足且。设是方程的两个实数根，则平面直线坐标系内两点之间的距离的最大值为_。9. 如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于_。10. 设是整数，且能被9整除，则的最小值是_，最大值是_。二、 解答题（每题15分，共60
5、分）11. 已知面积为4的的边长分别为，AD是的角平分线，点是点C关于直线AD的对称点，若与相似，求的周长的最小值。12. 将1，2，9这9个数字分别填入图1中的9个小方格中，使得7个三位数和都能被11整除，求三位数的最大值13. 设实数满足，且，求的最大值和最小值14. 称具有形式的数为“好数”，其中都是整数（1）证明：100，2010都是“好数”。（2）证明：存在正整数，使得是“好数”，而不是“好数”。2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题（2009年12月6日）一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）1、对于任意实数a,b，定义,ab=a(a+b) +b,
6、已知a2.5=28.5，则实数a的值是 。 2、在三角形ABC中，其中a,b是大于1的整数，则b-a= 。 3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。4、已知关于x的方程有实根，并且所有实根的乘积为2，则所有实根的平方和为 。5、如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。PEBC，PFCA，则线段EF长的最小值为 。6、设a，b是方程的两个根，c，d是方程的两个根，则(a+ c)( b + c)( a d)( b d)的值 。7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2)，函数y=kx1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点
7、不包括Q），则实数k的取值范围是 。8方程xyz=2009的所有整数解有 组。9如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，ABC=78，BCD=162。设AD,BC延长线交于E ，则AEB= 。 10、如图，在直角梯形ABCD中，ABC=BCD= 90，AB=BC=10，点M在BC上，使得ADM是正三角形，则ABM与DCM的面积和是 。二、（本题15分）如图，ABC 中ACB =90，点D在CA上，使得CD=1, AD=3，并且BDC=3BAC，求BC的长。三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数，其中数字c可以是0。四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两
8、两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,与都是有理数，称数对(a,b)是和谐的。试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的；证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；证明：若(a，b)是和谐的，且是有理数，则a,b都是有理数；2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）1、对于任意实数a,b，定义,ab=a(a+b) +b, 已知a2.5=28.5，则实数a的值是 。 【答案】4，2、在三角形ABC中，其中a,b是大于1的整数，则b-a= 。 【答
9、案】03、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。【答案】50,944、已知关于x的方程有实根，并且所有实根的乘积为2，则所有实根的平方和为 。【答案】55、如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。PEBC，PFCA，则线段EF长的最小值为 。【答案】6、设a，b是方程的两个根，c，d是方程的两个根，则(a+ c)( b + c)( a d)( b d)的值 。【答案】27727在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2)，函数y=kx1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是 。【答案】8方程
10、xyz=2009的所有整数解有 组。【答案】729如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，ABC=78，BCD=162。设AD,BC延长线交于E ，则AEB= 。【答案】21 10、如图，在直角梯形ABCD中，ABC=BCD= 90，AB=BC=10，点M在BC上，使得ADM是正三角形，则ABM与DCM的面积和是 。【答案】二、（本题15分）如图，ABC 中ACB =90，点D在CA上，使得CD=1, AD=3，并且BDC=3BAC，求BC的长。解：设BC=x，则，如图，作ABD平分线BE，则,因此。由角平分线定理可知。因此，解得三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数，其中数字c可以是0
11、。解：设,，则，故有整数解，由于10 x 100，故y0。因此是完全平方数，可设，故，0 50- t50+ t 之和为100，而且其中有11的倍数，只能有50t= 1或50t=45，相应得到y=1,25，代入解得因此。四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。解：由于这14个合数都小于2009且两两互质，因此n15。而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数的最小素因子，则必有一个素数47，不失一般性设，由于是合数的最小素因子，因此，矛盾。因此，任意15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述，
12、n最小是15。五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,与都是有理数，称数对(a,b)是和谐的。试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的；证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；证明：若(a，b)是和谐的，且是有理数，则a,b都是有理数；解：不难验证是和谐的。由已知是有理数，是有理数，因此，解得是有理数，当然b=sa也是有理数。若，则是有理数，因此也是有理数。若，由已知是有理数，也是有理数，因此，故是有理数，因此也是有理数。2008年新知杯上海市初中数学竞赛一、填空题：1、如图：在正中，点、分别在边、上，使得，与交于点，于点.则_.2、不等式对于一切实数都成立.则实数的最大值为_
