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1、第11讲 阿基米德三角形问题一、解答题 1设定点F(0，1)，动点E满足：以EF为直径的圆与x轴相切.（1）求动点E的轨迹C的方程；（2）设A，B是曲线C上的两点，若曲线C在A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线.【答案】（1）x24y；（2）证明见解析.【分析】（1）设E点坐标为(x，y)，由E到x轴的距离等于即可求解.（2）设A，B两点的坐标分别为，利用导数求出曲线在A，B处切线的斜率，从而可得x2，再求出的斜率，证出 kAFkAB，即证.【详解】（1）设E点坐标为(x，y)，则EF中点为圆心，设为E，则E点坐标为.E到x轴的距离等于，即，化简得x24y.点E的轨迹C的方程为x2
2、4y.（2）证明：由（1）知，曲线C是以F为焦点的抛物线，其方程可化为yx2，设A，B两点的坐标分别为，曲线方程为yx2，yx，曲线在A，B处切线的斜率分别为k1x1，k2x2，k1k21，x1x21，x2，A，B两点连线的斜率为kABx1，A，F两点连线的斜率为kAFx1kAB，A，B，F三点共线.【点睛】关键点点睛：本题考查了三点共线，可以证明直线的斜率相等，解题的关键是根据A，B两点的坐标求出x2，考查了计算求解能力.2如图，已知抛物线的焦点为F过点的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N （）求的值；（）记直线MN的斜率为，直线AB的斜率为证明：为定值【答案】
3、（1），；（2）【解析】试题分析：（）依题意，设直线AB的方程为x=my+2(m0)，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y1y2；（）设M(xM，yM)，N(xN，yN)，设直线AF：y=y1x11(x1)与y2=4x联立，得y14y2+(1x1)yy1=0,由韦达定理得，y1yM=4yM=4y1，同理，yN=4y2，进而可得的比值，化简即可求出结果为定制试题解析：证明：（）依题意，设直线AB的方程为x=my+2(m0)将其代入，消去x，整理得y24my8=0从而y1y2=8（）AF：y=y1x11(x1)与y2=4x联立，得y14y2+(1x1)yy1=0由韦达
4、定理得，y1yM=4yM=4y1，同理，yN=4y2k1k2=4yM+yN4y1+y2=y1+y2yM+yN=y1y24=2（定值）考点：1抛物线的简单性质；2直线与抛物线的性质3已知抛物线C：x22py（p0），直线l交C于A，B两点，且A，B两点与原点不重合，点M（1，2）为线段AB的中点（1）若直线l的斜率为1，求抛物线C的方程；（2）分别过A，B两点作抛物线C的切线，若两条切线交于点S，证明点S在一条定直线上【答案】（1）x22y（2）证明见解析【分析】（1）设直线的方程为，代入抛物线方程，消去，设，运用韦达定理，以及中点坐标公式，可得，即可得到所求抛物线方程；（2）求得的导数，可得抛
5、物线在，处的切线的斜率，由点斜式方程和点，满足抛物线方程，可得在，处的切线方程，联立两切线方程，相加，结合中点坐标公式，即可得到所求点所在的定直线方程【详解】解：（1）设直线的方程为，代入抛物线，可得，设，则，点为线段的中点，可得，即，则抛物线的方程为；（2）证明：设，点为线段的中点，可得，由的导数为，可得抛物线在处的切线斜率为，切线方程为，由，可得，同理可得，可得，即为，即可得交点在一条定直线上【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题4已知抛物线C：x22py（p0），F为抛物线C的焦点以F为圆心，p为半径作圆，与抛物线C在第一象限交点的横
6、坐标为2（1）求抛物线C的方程；（2）直线ykx+1与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，设切线l1，l2的交点为P，求证：PAB为直角三角形【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得M点的坐标为，代入抛物线方程，即可求出p的值；（2）设，利用导数的几何意义得到A，B两点处的切线斜率分别为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到k1k21，从而得到PAB为直角三角形【详解】（1）记抛物线C与圆F在第一象限的交点为M，由圆F与抛物线C的准线相切，且M到抛物线C准线的距离等于圆F的半径，所以M点的坐标为，代入抛物线方程得：，所以，所以抛物线的方程为.（2
7、）设，由，可得y，则，所以A，B两点处的切线斜率分别为，由，得，所以，所以，所以，即为直角三角形【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等5已知抛物线的焦点为，过点的直线分别交抛物线于两点（1）若以为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程；（2）过点分别作抛物线的切线，证明：的交点在定直线上【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据抛物线的定义可求
8、圆心到准线的距离为，从而可求抛物线的方程（2）设，利用导数求出两点处的切线方程，从而可求的交点的坐标，再联立直线和抛物线的方程可得，从而可得的交点的纵坐标为定值，故的交点在定直线上【详解】（1）设中点为，到准线的距离为，到准线的距离为，到准线的距离为，则且.由抛物线的定义可知，所以，由梯形中位线可得，所以，可得，所以抛物线的标准方程为.（2）证明：设，由，得，则，所以直线的方程为，直线的方程为，联立得，解得，即直线的交点坐标为.因为过焦点，由题可知直线的斜率存在，故可设直线方程为，代入抛物线中，得，所以，故，所以的交点在定直线上【点睛】关键点点睛：抛物线中过焦点的弦长问题要注意利用定义转化为到
9、准线的距离问题，对于焦点在轴上的抛物线的切线问题，可以利用导数来求切线方程，从而简化运算6已知动点在轴上方，且到定点距离比到轴的距离大.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与曲线交于，两点，点，分别异于原点，在曲线的，两点处的切线分别为，且与交于点，求证：在定直线上.【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）设，由到定点距离比到轴的距离大，可得，化简可得点的轨迹的方程；（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为与联立，设，可得，的值，又，所以，可得切线的方程，同理可得切线的方程，求出交点坐标，可得其在定直线上.【详解】解：（1）设，则有，化简得，故轨迹的方程为.（2）由题
10、意可知，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为与联立得，设，则，又，所以，所以切线的方程为，即，同理切线的方程为联立得，.两式消去得，当时，所以交点的轨迹为直线，去掉点.因而交点在定直线上.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的综合计算能力，属于难题.7已知圆C：x2y22x2y10和抛物线E：y22px(p0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线E于A，B两点，且满足OAOB求证直线l过定点；设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时直线l的方程【答案】（1）y212x；（2）证明见解析；13
11、xy1560【分析】(1) 根据题意圆心到抛物线焦点距离，利用两点之间距离公式计算可得结果（2）设直线方程，联立抛物线，结合条件求得两根之和与两根之积，解得得到定点，再得出点到线距离最大时的直线方程【详解】(1)圆C：x2y22x2y10，可得圆心C(1，1)，半径r1，抛物线E：y22px(p0)的焦点，准线方程为，圆心C到抛物线焦点F的距离为,即有解得p6，即抛物线方程为y212x.(2)证明：设直线l的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 整理得：y212my12t0，所以y1y212m，y1y212t由于OAOB则x1x2y1y20即(m21)y1y2mt(y1y2)
12、t20整理得t212t0，由于t0，解得t12故直线的方程为xmy12，直线经过定点P(12，0)当CPl且动点M经过PC的延长线时，动点M到动直线l的距离取得最大值 ，则此时直线l的方程为：，即13xy1560【点睛】本题在解答直线与抛物线位置关系时需设出直线方程，这里给出形式的直线方程，方便计算，根据题目意思解得直线恒过定点，再结合题意，求得当与直线垂直时的直线方程即可.8已知抛物线的焦点为，是抛物线上的两个动点，且，过，两点分别作抛物线的切线，设其交点为.（1）若直线与，轴分别交于点，且的面积为，求的值；（2）记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.【答案】(1)2;(2)有
13、最小值4，此时.【分析】（1）先求出以点为切点的抛物线的切线方程，得出，利用面积求出点的纵坐标，然后求出（2）先分别写出直线PA，PB方程，利用都过点P写出直线，代入抛物线方程利用弦长公式求出，及点到直线的距离，写出表达式及最值【详解】（1）设，则，抛物线方程写成，则以点为切点的抛物线的切线的方程为：，又，即， ，故 ，从而. （2）由（1）知，即：，同理，由直线，都过点，即，则点，的坐标都满足方程，即直线的方程为：，又由直线过点， 联立得， ，点到直线的距离， ， 当且仅当时，有最小值4，此时.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能
14、力，属于中档题9已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切.（）求动圆圆心的轨迹方程；（）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为、，直线交轴于点，记、的面积分别为、，且，证明：直线过定点.【答案】（）；（）详见解析.【分析】（）根据题意，点到直线的距离与到的距离相等，由抛物线的定义可得解；（）设、，用坐标表示、，利用韦达定理，代入即得解.【详解】（）设，半径为，则，所以点到直线的距离与到的距离相等，故点的轨迹方程为.（）设，则、设直线：（）代入中得，、又直线恒过【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.10已知点是抛物线的顶点，是上的两个动点，且.（1）判断点是否在直线上？说明理由；（2）设点是的外接圆的圆心，点到轴的距离为，点，求的最大值.【答案】（1）不在，证明见详解；（2）【分析】（1）假设直线方程，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算，可得，然后验证可得结果.（2
