《浅谈向量在几何中的应用学士学位论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浅谈向量在几何中的应用学士学位论文（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、. . . . 师大学学士学位论文题 目 浅谈向量在几何中的应用哈 尔 滨 师 大 学学士学位论文开题报告论文题目 浅谈向量在几何中的应用学生 XX指导教师 XXX 副教授年 级 XXX级专 业 数学与应用数学XXXX年XX月XX日课题来源：题目自拟课题研究的目的和意义：作为新课程改革，高中数学教材的一个显著变化就是“向量”的引入。它的目的也很明确：为研究函数、空间图形，提供新的研究手段，即充分体现它们的工具性。但这种“工具性”，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。我们发现向量在立体几何中有
2、很大的用处：有关空间问题中的“三大角度”和“两大基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无穷的用途。国外同类课题研究现状与发展趋势：向量进入中学数学教材，是近几十年来国外教学改革的一个主要特征向量引入立体几何是数学课程改革的重点之一，它是一个具有几何和代数双重身份的概念，具有特别广泛的教育价值它来解决部分立体几何问题，可以大大降低难度，激发学生的学习兴趣，有利于学生在学习中获得成功的体验教师在这一部分的教学中的难点和焦点在于：向量在立体几何中如何运用？如何在立体几何的教学中，正确处理好向量和传统方法的关系?怎样设计这部分知识的教学才能帮助学生更好地理解本部分的容?课题研究的主要容和方法，研究过程中的
3、主要问题和解决办法：向量具有代数和几何双重身份，在几何问题的研究中起了重大的作用。本文主要研究向量在解决几何问题中的应用，如何用向量的知识解决几何中的“面积问题”、“两大位置关系”、“三大角”、“四大距离”的相关问题。在研究过程中发现有一些计算公式以与具体的叙述上有一些问题。于是通过阅读中学教材，翻看大量的数学刊物，以与上网阅览向量在解决高中数学问题的论文，解决了在课题研究方面的困难。课题研究起止时间和进度安排：1.2012.11-2012.12 根据导师指导，查阅资料，确定研究题目。2.2012.12-2013.01 查阅资料，构思论文框架，填写开题报告。3.2013.01-2013.02
4、资料搜集与整理、归纳、分析.充分与导师进行沟通，完成论文初稿，并 完成论文中期报告。4.2013.02-2013.03 对论文的二稿进行修改和完善，并完成论文的最终定稿。5.2013.03-2013.04 打印论文；撰写论文答辩提纲，完成论文答辩。指导教师审查意见：同意开题指导教师 （签字） 年 月 教研室（研究室）评审意见：同意开题_教研室（研究室）主任 （签字） 年 月院（系）审查意见：同意开题_院（系）主任 （签字） 年 月 / 学 士 学 位 论 文题 目 浅谈向量在几何中的应用 学 生 XXXX 指导教师 XXXXXX 副教授 年 级 XXXX级 专 业 数学与应用数学 系 别 数学
5、系 学 院 数学科学学院师大学XXXX年X月浅谈向量在几何中的应用XX摘 要:在新一代的课改中，向量作为现代数学标志之一，已经进入了高中数学教材中。向量是沟通几何与代数的重要工具，促进了几何的代数化。有些几何问题用常规的几何证明方法去解决往往会比较复杂，那么运用向量把“几何问题”转化为“代数运算”，会使解题过程大大的简化，同时也更容易理解，体现了数学中常提到的“数形结合”的思想。向量普遍用于处理平面几何中的“面积问题”，以与空间几何中“两大位置关系”、“三大角”、“四大距离”。关键词：向量 平面几何 空间几何一、 向量在研究几何方面的作用从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未
6、被数学家们所认识，在18世纪末期人们运用复数的运算来定义向量的运算，把坐标平面上的点用向量来进行表示，人们利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样进入了数学。但是复数的利用是受限制的，一个复数所能对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分。高中教材中引入向量的主要目的是为研究空间几何提供一种新的方法，它是一种非常强大的工具，它能将“几何形式”转化为“代数形式”，极大的促进了几何的代数化。但是要想用好向量只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想灵活运用又需要我们熟练的掌握它可以用来计算什么以与与向量有联系的知识容，丰富知识网络，形成比较完善的“认知模块”、“知识体系”，在脑海中形成
7、比较完善的知识链。首先，它可以用于研究“平行”和“垂直”两大位置关系，主要包括“线线平行”、“线面平行”、“线线垂直”、“线面垂直”。其次，它对于求“三大角”也有很好的应用，主要包括“线线角”、“线面角”“二面角”。这里的“空间角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数“正弦函数或余弦函数的定义”发生了对接对边或邻边就是斜边的向量在此边向量的投影，我们可以利用直角三角函数的定义来掌握向量在求“空间角”方面的应用。再次，它可以有效的计算“四大距离”，主要包括“点点距离”、“点线距离”、“点面距离”、“异面直线的距离”。最后，它还可以处理平面几何中图形的面积计算等。二、 向量在平面几何中的应用 例1
8、.四边形是正方形，是的中点，将正方形折起使点与重合，设折痕为（在上），若正方形面积为64，试用向量的方法求的面积。 解:如图，建立直角坐标系， 显然是的中垂线， 所以是的中点。 因为正方形的边长为8， 所以，。 设点，则，。， 由， 得:。 即:。 解之:，即。 所以。例2. 已知:，其中， ，与的夹角为，求平行四边形的面积。解:， 同理:， 设与的夹角为， 所以， 所以。三、 向量在空间几何中的应用(一） 两大位置关系1.平行关系 1.1证明两条直线平行设直线、的方向向量分别为、，若，则与平行或者共线。例3:已知有两条直线分别为，的方向向量，的方向向量，试判断两条直线是否平行？解:因为， 所
9、以两条直线与不平行。1.2证明直线与平面平行设直线的方向向量为，平面的法向量为，、是与平行的两个不共线向量，那么或存在两个实数、，使。例4：在正方体中，、分别为、的中点，求证：平面。 证明：方法1：如上图所示，以为原点，、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则可求得，于是， 设平面的法向量是，则,且， 所以 。 取，得，所以。 又，所以。 又因为平面， 所以平面。 方法2：因为， 所以。 又因为平面， 所以平面。 1.3证明平面与平面平行设平面、的法向量分别为、，那么或与重合存在实数，使。例5：在三棱柱中，侧棱垂直于底面，在底面中，是上一点，且面，为的中点，求证
10、面面。 证明：以为原点，如图建立坐标系， 设， 则， 所以，设， 所以， 设面的法向量为，则且， 解得， 所以。 设面的法向量为，则且。 取，则，则， 所以，所以， 所以面面。2.垂直关系 2.1证明两条直线垂直设直线、的方向向量分别为和，那么，当，时，若，则。例6：现有两条直线，的方向向量为，的方向向量为，是判断两条直线是否垂直？解：因为， 所以和不垂直。2.2证明直线和平面垂直设直线的方向向量为，平面的法向量为，则。若，则，。当，时，。例7：在棱长为1的正方体中，、分别为和的中点，试在棱上找一点，使得平面。证明：分别以、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，。 所以， 又因为、分
11、别为、的中点， 所以， 又因为， 由于平面， 所以且。 即，。 所以， 所以。 故取的中点就能满足平面。2.3证明平面与平面垂直设平面、的法向量分别为、，那么。若、是与平行的两个不共线向量，是平面的法向量，则。例8：在如图所示的几何体中，四边形是正方形平面，,、分别为、的中点，且。求证：平面平面。证明：以为原点，向量,分别为轴、轴、轴的正方向， 如图建立坐标系，设，则， 则,，。 则， 所以， 设平面的法向量，则且。 取，则，所以。 易证平面的法向量为, 因为, 所以，。 所以，平面平面。（二） 三大角1. 线线角，是两异面直线，所成的角为，则有，所以。例9：在棱长为1的正方体中，分别为和的中点，那么直线与所成的角是多少？解：因为，, 所以。 又因为 同理可得：。 设与所成的角为，则, 所以。2. 线面角设直线的方向向量为，平面的法向量为，则。例10：如图，正三棱柱的底边长为，侧棱长为，
