多边形与平行四边形

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1、多边形与平行四边形-知识讲解及典型例题解析【考纲要求】1. 多边形A： 了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、 正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系B：会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行简单 的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形(2) 平行四边形A：会识别平行四边形.B：掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题.C：会运用平行四边形的知识解决有关问题.【知识网络】丰富情境多边形待M- :一_議平行四边形*巧边ZSZ对线I8边：角【

2、考点梳理】考点一、多边形1. 多边形： 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形 多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段2. 多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n 2)个三角形3多边形的角：n边形的内角和是(n2)180，外角和是360 .【要点诠释】(1) 多边形包括三角形、四边形、五边形，等边三角形是边数最少的正多边形(2) 多边形中最多有3个内角是锐角(如锐角三角形),也可以没有锐角(如矩形).(3) 解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，

3、研究n边形的外角问题 时，也往往转化为n边形的内角问题.考点二、平面图形的镶嵌1镶嵌的定义 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片， 这就是平面图形的镶嵌2平面图形的镶嵌(1) 一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2) 两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角 形和正十二边形；(3) 三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形， 正三角形、正方形和正十二边形.【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于 36

4、0, 并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理1连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形2性质：(1) 平行四边形的对边平行且相等；(2) 平行四边形的对角相等，邻角互补；(3) 平行四边形的对角线互相平分；(4) 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心3判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4) 两组对角分别相等的四边形

5、是平行四边形；(5) 对角线互相平分的四边形是平行四边形 4两条平行线间的距离： 定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离 性质：夹在两条平行线间的平行线段相等【要点诠释】1. 平行四边形的面积=底乂高；2. 同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌1.如图，在五边形ABCDE中，ZA+ZB+ZE=300, DP、CP分别平分ZEDC、ZBCD，则ZP的度数 是( )60 B.65 C.55 D.50【思路点拨】根据五边形的内角和等于540，由ZA+ZB+ZE=300，可求ZBCD+ZCDE的度数，再根 据角平分线的定义可得ZP

6、DC与ZPCD的角度和，进一步求得ZP的度数.【答案】A【解析】解：五边形的内角和等于540，ZA+ZB+ZE=300，.ZBCD+ZCDE=540- 300=240，ZBCD、ZCDE的平分线在五边形内相交于点0,.ZPDC+ZPCD=2 (ZBCD+ZCDE)=120，2ZP=180-120=60.故选： A【总结升华】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键.注意整体思想的运用.举一反三：【变式】如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为a,再走12米，如此重复，小林共走了 108米回到点P，则0=.【答案】40 .2. 现有边长相同的正三角形、

7、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图 案的是( )A正方形和正六边形C.正三角形和正六边形B.正三角形和正方形D.正三角形、正方形和正六边形【思路点拨】注意各正多边形的内角度数.【答案】A.【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为90。和120，要镶嵌则需要满足90 m+120 n= 360，但是m、n没有正整数解，故选A.【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于 360, 并使相等的边互相重合.举一反三：【变式】现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边 长都相等.同时选择其中两种地面砖密

8、铺地面，选择的方式有( )A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种【答案】B.类型二：平行四边形及其他知识的综合运用3. 如图，已知在ABCD中，对角线AC、BD相交于点0, AE丄BD，BM丄AC、DN丄AC，CF丄BD垂足分 别是 E、M、N、F,求证：ENMF.【思路点拨】连接ME, FN,由四边形ABCD为平行四边形，得到对角线互相平分，利用AAS得到三角形 AOE与三角形COF全等，利用全等三角形对应边相等得到OE=OF,同理得到三角形BOM与三角形DON全 等，得到0M=ON,进而确定出四边形MEFN为平行四边形，利用平行四边形的对边平行即可得证.【答案与解析】证明：连接 ME，F

9、N，四边形ABCD为平行四边形，.OA=OC, OB=OD， AE丄BD, CF丄BD, 在厶AOE和厶COF中，VAEO=ZCFO=90ZA0E=ZC0F ,OA=OC.AOEACOF (AAS),.OE=OF，同理 BOMDON，得到 OM=ON,四边形EMFN为平行四边形，ENMF.总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键AD-AB4. 如图所示，AABC中，ZBAC=90 ,延长BA到D,使 2 ，点E、F分别为边BC、AC的中点.(1) 求证：DF=BE；(2) 过点A作AGBC，交DF于G,求证：AG=DG.EH二丄卫B【思路点拨】(

10、1)E、F分别为BC、AC中点，则EF%AABC的中位线，所以EFAB,2 而.则EF=AD.从而易证 DAF9AEFC,则DF=CE=BE.（2） AG与DG在同一个三角形中，只需证ZD=ZDAG 即可.【答案与解析（1）T点E、F分别为BC、AC的中点, 已卩是厶ABC的中位线. EFAB,AD-AB又2, EF=AD./ EFAB,ZEFC=ZBAC=90,TZBAC=90,ZDAF=90.又 F是AC的中点，AF=CF,ADAF9AEFC.DF=EC=BE.（2）由（1）知DAFEFC,AZD=ZFEC.又 EFAB,ZB=ZFEC.又 AGBC,ZDAG=ZB,AZ DAG=ZFEC

11、AZD=ZDAG.AG=DG.【总结升华】三角形中位线定理的作用：位置关系可以证明两条直线平行；数量关系可以证明 线段的相等或倍分.此外应注意三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形.举一反三：【变式】如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD 上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC 上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐变小C.线段EF的长不变D.无法确定【答案】C.5. 如图：六边形ABCDEF中，AB平行且等于ED, AF平行且等于CD, BC平行且等于FE,对角线FD 丄BD.已知FD=4cm, B

12、D=3cm.则六边形ABCDEF的面积是cm2.【思路点拨】连接AC交BD于G, AE交DF于H.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平 行四边形AEDB和AFDC.易得AC=FD，EH=BG.计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形 AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积.【答案与解析】VAB平行且等于ED, AF平行且等于CD,四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，.AE=BD, AC=FD，VFD 丄BD,.ZGDH=90,四边形AHDG是矩形，AH=DG.EH=AE-AH, BG=BD-DGEH=BG.六边形ABCDEF的面积=平行

13、四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FDBD=3X 4=12cm2.故答案为：12.【总结升华】注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算.6 .已知平行四边形ABCD,对角线AC和BD相交于点O,点P在边AD 上,过点P作PE丄AC, PF丄BD, 垂足分别为 E、F，PE=PF.(1) 如图，若PE=J3 , EO=1,求ZEPF的度数；(2) 若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+3；2 -4,求BC的长.【思路点拨】(1)连接P0,利用解直角三角形求出ZEPO=30。，再利用“HL”证明 PEO和厶PF0全等, 根据全等三角形对

14、应角相等可得ZFPO=ZEPO,从而得解；(2)根据三角形中位线定理可得 PFAO，且PF= 2 AO,然后根据两直线平行，同位角相等可得ZAOD=ZPFD=90，再根据同位角相等，两直线平行可得PEOD，所以PE也是 AOD的中位线，然后 证明四边形ABCD是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解.【答案与解析】(1)如图，连接 PO，VPE丄AC, PE=3，EO=1，eo 73.*.tanZEPO二= -，PE 3.ZEPO=30，VPE 丄AC,P F丄 BD，.ZPEO=ZPFO=90，PO 二 PO在 RtA PEO 和 RtA PFO 中，彳，PE 二 PF.RtA PEO9R tA PFO(HL)，.ZFPO=ZEPO=30，.ZEPF=ZFPO+ZEPO=30+30=60；ADFEEBSC(2)如图，点P是AD的中点，点F是DO的中点,1.PFAO，且 PF= AO,2 PF 丄BD,.ZPFD=90， .ZAOD=ZPFD=90，又VPE丄AC,.ZAEP=90，.ZAOD=ZAEP，.PE