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1、1【2010 泰兴】已知函数且 (I)试用含的代数式表示; ()求的单调区间; ()令,设函数在处取得极值,记点,证明:线段与曲线存在异于、的公共点;2【2013 南京】设t0,已知函数f (x)x2(xt)的图象与x轴交于A、B两点(1)求函数f (x)的单调区间;(2)设函数yf(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率为k,当x0(0,1时,k恒成立,求t的最大值;(3)有一条平行于x轴的直线l恰好与函数yf(x)的图象有两个不同的交点C,D,若四边形ABCD为菱形,求t的值4【2012无锡】已知函数在处的切线方程为,为的导函数,(,).(1) 求,的值;(2) 若存在,使成立,求的范围.
2、5已知函数,在处的切线方程为。(1)求的解析式;(2)设,若对任意,总存在,使得成立,求实数的取值范围。3【2013 高邮】已知函数。(1)求函数的值域;(2)设,记的最大值为,求的表达式。6对于函数,如果存在实数使得,那么称为的生成函数()下面给出两组函数,是否分别为的生成函数?并说明理由;第一组:;第二组:;()设,生成函数若不等式在上有解,求实数的取值范围;()设,取,生成函数使 恒成立,求的取值范围2012江苏18已知a,b是实数,1和是函数的两个极值点(1)求a和b的值;a=0,b= -3(2)设函数的导函数,求的极值点;(3)设,其中,求函数的零点个数1解法一:依题意,得 ,-2分
3、故.-4分 由得,故,令,则或,-6分 当时, ,当变化时, 与 的变化如下表:(,)(,)(, )+-+单调递增单调递减单调递增由此得,函数的单调增区间为(,)和(, ),单调减区间为(,). 当时, .此时恒成立,且仅在处,故函数的单调增区间为. 当时, ,同理可得函数的单调增区间为和,单调减区间为.-9分综上:当时,函数的单调增区间为(,)和(, ),单调减区间为(,);当时,函数的单调增区间为; 当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为.-10分()当时,得由,得,.由()得单调区间为和,单调减区间为,所以函数在,处取得极值; 故,.-12分所以直线的方程为,由,得-14分令.易得,.
4、而的图像在内是一条连续不断的曲线,故在内存在零点,这表明线段与曲线存在异于、的公共点. -16分解法二:(I)同解法一(II)同解法一() 当时,得,由,得,.由()得单调区间为和,单调减区间为,所以函数在,处取得极值; 故,.-12分所以直线的方程为,由,得-14分解得:, , ., , . 所以线段与曲线存在异于、的公共点.-16分2解:(1)f (x)3x22txx(3x2t)0,因为t0,所以当x或x0时,f (x)0,所以(,0)和(,)为函数f (x)的单调增区间;当0x时,f (x)0,所以(0,)为函数f (x)的单调减区间 4分(2)因为k3x022tx0恒成立,所以2t3x
5、0恒成立, 6分因为x0(0,1,所以3x02,即3x0,当且仅当x0时取等号所以2t,即t的最大值为 8分(3)由(1)可得,函数f (x)在x0处取得极大值0,在x处取得极小值因为平行于x轴的直线l恰好与函数yf (x)的图象有两个不同的交点,所以直线l的方程为y 10分令f (x),所以x2(xt),解得x或x所以C(,),D(,) 12分因为A(0,0),B(t,0)易知四边形ABCD为平行四边形AD,且ADABt,所以t,解得:t 16分3、解(1)要使有意义,必须且,即,的值域是。(2)设则由题意知即为函数的最大值,因为直线是抛物线的对称轴,所以可分以下几种情况进行讨论:当时,函数
6、的图象是开口向上的抛物线的一段,由知在上单调递增,故当时,在上单调递增,有当时,函数的图象是开口向下的抛物线的一段,若,即时,若,即时,若即时,综上所述,45解:(1)将带入切线方程可得切点为。所以,即(2分)由导数的几何意义得(4分)联立,解之得:,所以。(7分)(2)由,知在上是增函数。则故函数在值域为。(9分)因为在上是减函数,所以,。(12分)故函数的值域为。由题设得。则解得的取值范围为。(16分)解:() 设,即,取,所以是的生成函数2分 设,即,则,该方程组无解所以不是的生成函数4分()5分若不等式在上有解,即7分设,则,9分,故,10分()由题意,得 若,则在上递减,在上递增,则,所以,得 12分 若,则在上递增,则,所以,得14分 若,则在上递减,则,故,无解综上可知,16分