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1、宿迁高等师范学校精品课程数学分析第八章 无穷级数 教学目的：1.明确认识无穷级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。 教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数、函数项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。 教学时数： 8.1 常数项级数 教学重点： 1、数值级数的敛散性； 2、收敛级数的性质；3、正项级数及其敛散性的判别；4、变号级数敛散性的判别；5、绝对收敛级数与条件收敛级数。教学难点：正项级数敛散性的判别、变号级数敛散性判别及级数的条件收敛
2、与绝对收敛的判别。基本内容：1、级数的部分和数列及其敛散性以及相应于级数的敛散性；2、收敛级数与收敛数列平行的两个性质：Cauchy收敛准则； 3、同号级数（主要是正项级数）敛散性判别法。正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界。由此得到了比较判别法及其推论，在比较判别法的基础上给出了Cauchy判别法与DAlebert判别法及其推论；4、变号级数的收敛判别法，绝对收敛与条件收敛的定义，绝对收敛的判别法，条件收敛的判别法（狄利克莱判别法和阿贝尔判别法），交错级数的判别法（莱布尼兹判别法）。基本要求：1、掌握级数收敛和发散的定义，理解其意义，并熟练掌握判别级数敛散性的判别法，记住几何级数和广义
3、调和级数的敛散性；2、掌握收敛级数和绝对收敛级数的性质及其证明方法；3、初步具有应用级数的敛散性定义和收敛级数的性质证明级数中一些问题的能力。基本方法：判别级数敛散性的基本方法。一、 概念 ：1、设为一数列,即.将数列的项依次用加号连接起来,即或.称为无穷级数,简称级数.其中称为级数的第项或通项.设,称为的项部分和,从而对应一个部分和数列.定义1 若的项部分和数列收敛,设,则称级数收敛,称为的和,记作.若发散,则称级数发散.定义2 若收敛,其和为,而,即,称为级数的项余和,简称余和.显然,.例1 讨论几何级数的敛散性,其中为公比.例2 讨论几何级数 的敛散性.（这是一个重要例题！）解：时,.级
4、数收敛 ; 时, 级数发散 ; 时,级数发散; 时,级数发散.综上,几何级数当且仅当时收敛,且和为(注意从0开始). 例3 讨论级数 的敛散性. 解：（利用拆项求和的方法）例4 讨论级数 的敛散性.解：设 , , = , . ,. 因此,该级数收敛. 例5 讨论级数 的敛散性.解： ,.级数发散.二. 级数收敛的充要条件 Cauchy准则 ：把部分和数列 收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言 ， 就得到级数收敛的Cauchy准则 . 定理1.1 ( Cauchy准则 ) 收敛 和 N, . 由该定理可见, 去掉或添加上或改变 ( 包括交换次序 ) 级数的有限项 , 不会影响级数的敛散性 .
5、但在收敛时 , 级数的和将改变 . 去掉前 项的级数表为或.定理 1.2(级数收敛的必要条件)收敛. 例6证明级数收敛 .证 显然满足收敛的必要条件.令 ,则当 时有 例7 判断级数 的敛散性. (验证.级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)例8(但级数发散的例)证明调和级数 发散 .证法一 ( 用Cauchy准则的否定进行验证 ) 证法二 证明 发散. 利用已证明的不等式.即得，三 收敛级数的基本性质： 性质1 收敛， Const 收敛且有= ( 收敛级数满足分配律 ) 性质2 和收敛，收敛,且有 =.问题: 、三者之间敛散性的关系.性质3 若级数 收敛 , 则任意加括号后所得级数也收
6、敛 ,且和不变 . ( 收敛数列满足结合律 ) 例9 考查级数 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 . 该例的结果说明什么问题 ? 三. 正项级数及其收敛法 : 1. 正项级数 : ; 任意加括号不影响敛散性.定理1.3 设 .则级数收敛 .且当 发散时,有,. ( 证 )正项级数敛散性的记法 .2. 正项级数判敛的比较原则 : 定理1.4 设和是两个正项级数,且时有,则 1） , ; 2) = , = .例10 考查级数 的敛散性 .解 有 例11 设 . 判断级数 的敛散性 . 例12 判断下列级数的敛散性: ; ( ) ; ; . 定理1.5( 比值法 )设为正项级数, 且 . 则 1
7、) , 或 = , = . ( 证 )註：倘用比值法判得 = , 则有 .比值法适用于和有相同因子的级数,特别是中含有因子者. 例13 判断级数 的敛散性.解 ,. 例14 讨论级数 的敛散性. 解 . 因此, 当 时, ; 时, ; 时, 级数成为 , 发散.注意 对正项级数，若仅有，其敛散性不能确定.例如对级数和, 均有，但前者发散, 后者收敛 例15讨论 级数 的敛散性.解 考虑函数 0时 在区间 上非负递减 . 积分当 时收敛,时发散. 级数当时收敛,时发散.时,级数发散.综上,级数当且仅当时收敛 . 四、交错级数及其收敛法 若级数既有无限多项正数,又有无限多项负数,则称此级数是变号级
8、数.例如：.特别地,称为交错级数.定理1.6（莱布尼茨叛别法）有交错级数,若1）,有,2）,则交错级数收敛,且.例16判别下列交错级数的敛散性：1）；2）；3）.五、任意项级数的绝对收敛与条件收敛定义 若正项级数收敛,则称级数绝对收敛,若收敛而发散,则称级数条件收敛.定理1.7 如果任意项级数的绝对值级数收敛，则必收敛.例17 讨论下列级数的绝对收敛性：1）；2）；3）.定理1.8（任意项级数的比值判别法）设 为任意级数 , 且. 则 1） 或 = , 发散. ( 证 )练习P21 2 3 4作业P21 5(1,3,5,7) 6(2 4 6)8.2 函数项级数教学重点：一致收敛的定义和判别法，
9、和函数的分析性质。教学难点：一致收敛的性质和和函数分析性质的应用。主要内容：1、函数级数的收敛域（或收敛区间）以及和函数的定义；2、函数级数一致收敛的概念；3、函数级数一致收敛的充要条件（Cauchy准则），函数级数一致收敛的M判别法，以及条件收敛的判别法（狄利克莱判别法和阿贝尔判别法）；4、和函数的分析性质5、函数列对应与函数级数的一致收敛的判别法及性质。基本要求：1、深刻理解一致收敛概念的实质，熟练掌握一致收敛的定义及否定叙述，并能应用一致收敛的定义或适当的判别法判别函数级数的一致收敛性；2、记住关于函数级数（或函数列）和函数分析性质的定理的条件，并能应用它们讨论一些和函数（或极限函数）的
10、分析性质。主要方法：判别函数级数一致收敛的基本方法和应用一致收敛的函数级数的性质证明一些简单的问题的方法。一、函数级数一般概念设函数列的每个函数都在数集有定义,将它们用加号依次连接起来,即：（1）就是数集上的函数项级数.函数级数的前项和就是函数级数的前项部分和函数,简称部分和.,函数级数对应一个无穷级数（2）,它的敛散性可由前节关于无穷级数敛散性的判别法判别,若级数（2）收敛,则称a为函数级数（1）的收敛点,若数值级数（2）发散,则称a为函数级数（1）的发散点.定义 函数级数（1）的收敛点集合,称为函数级数（1）的收敛域.若收敛域是一个区间,则称此区间是函数级数（1）的收敛区间.显然,函数级数
11、（1）在收敛域的每一个点都有和,函数级数的和是定义在收敛域上的函数,设为,即,称为函数级数和函数.记,称为函数级数（1）的项余和,对于收敛域中的任意,有.例1 讨论函数级数的收敛域.例2讨论函数级数的收敛域.例3讨论函数级数的收敛域.二、函数级数一致收敛的概念设函数级数的收敛区间为,和函数为,我们可以通过的连续性、可微性、可积性来讨论和函数的连续性、可微性、可积性.一般来说,函数级数的每一项在区间连续,它的和函数在区间可能不连续.例如函数级数.一般来说,函数级数的每一项在区间可积,而和函数在区间不一定可积,即使和函数在区间可积,也不一定有.对于可导也有同样的情况.为了讨论和函数的分析性质,引入
12、一致收敛的概念.定义 设函数级数在区间的收敛于和函数,若,有,则称函数级数在区间的一致收敛或一致收敛于和函数.例4 证明：函数级数,1）在（其中）一致收敛；2）在非一致收敛.三、一致收敛的判别定理2.1 (Cauchy收敛准则) 函数级数在区间一致收敛,有.定理2.2（M判别法）有函数级数,是区间,若,有,且收敛,则函数级数在区间一致收敛.例5 讨论函数级数在的一致收敛性.例6 证明：1）在区间一致收敛；2）在实数集一致收敛.例7 证明：函数级数在区间一致收敛.例8 证明：若（是常数）在收敛,则在区间一致收敛.四、和函数的性质:定理2.3 若在区间一致收敛于和函数,且对,函数在上连续,则在上连
13、续.定理2.4 若在区间一致收敛于和函数,且对,函数在上连续,则在可积,且.定理2.5若在区间满足：1）收敛于和函数；2）,可导；3）在一致收敛,则和函数在可导,且例9 讨论的定义域以及它在定义域内连续性及可微性.例10 讨论在的可积性.例11证明函数在区间内连续. 证( 先证在区间内闭一致收敛.)对,有,；又,在一致收敛.( 次证对, 在点连续 ) 对, 由上段讨论 , 在区间上一致收敛; 又函数连续, 在区间上连续, 在点连续. 由点的任意性, 在区间内连续.练习P30 2 38.3 幂级数 教学重点：幂级数的收敛半径（或收敛区间）的求法，和函数的分析性质。教学难点：幂级数收敛半径（或收敛区间）的求法。基本内容：1、幂级数收敛半径（或收敛区间）的求法，幂级数所特有的性质，即内闭一致收敛性；2、和函数的分析性质； 3、函数在点的邻域内能展成泰勒级数的条件。基本要求：1、理解幂级数的意义；2、会求幂级数的收敛半径，掌握和函数的分析性质；主要方法：幂级数收敛半径的计算方法。幂级数的一般概念. 型如 和 的幂级数 . 幂级数由系数数列 唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下只讨论型如 的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一. 一.幂级数的收敛域: 1. 收敛半径 、收敛区间和收敛域： 定理3.1（Abel）若幂级数在点收敛，则对满足不等式的任何，幂级数收敛而且绝对收敛；
