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1、推理与证明【最新考纲透析】1合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。2直接证明与间接证明（1）了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；（2）了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。3数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。【核心要点突破】要点考向1：合情推理考情聚焦：1合情推理能够考查学生的观察、分析、比较、联
2、想的能力，在高考中越来越受到重视；2呈现方式金榜经，属中档题。考向链接：1归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论；2类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。例1：（2010福建高考文科）观察下列等式： cos2a=2-1; cos4a=8- 8+ 1; cos6a=32- 48+ 18- 1; cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1;
3、cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1.可以推测，m n + p = .【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解【思路点拨】根据归纳推理可得 【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，又， 【答案】962要点考向2：演绎推理考情聚焦：1近几年高考，证明题逐渐升温，而其证明主要是通过演绎推理来进行的；2主要以解答题的形式呈现，属中、高档题。考向链接：演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性。例2：（2010浙江高考理
4、科14）设，将的最小值记为，则其中=_ .【命题立意】本题考查合情推理与演绎推理的相关知识，熟练掌握相关的推理规则是关键【思路点拨】观察的奇数项与偶数项的特点【规范解答】观察表达式的特点可以看出，当为偶数时，；，当为奇数时，【答案】要点考向3：直接证明与间接证明考情聚焦：1直接证明与间接证明是数学证明的两种思维方式，考查了学生的逻辑思维能力，近几年高考对此部分的考查有所加强。2以解答题的形式呈现，属中档题目。例3：（2010北京高考文科20）已知集合对于，定义A与B的差为A与B之间的距离为（）当n=5时，设，求，；（）证明：，且;() 证明：三个数中至少有一个是偶数【命题立意】本题属于创新题，
5、考查了学生运用新知识的能力。本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求。要求教师真正的重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”、“创新能力”的培养【思路点拨】（I）（）直接按定义证明即可；() “至少”问题可采用反证法证明【规范解答】（）（1,0,1,0,1） 3()设 因为，所以从而由题意知当时，当时，所以()证明：设记由（）可知所以中1的个数为k,中1的个数为设是使成立的的个数。则由此可知，三个数不可能都是奇数，即三个数中至少有一个是偶数 注：（1）有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可；（2）综合法和分析法是直接证明常用的两个方法，我们常用分析法寻找
6、解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用。要点考向4：数学归纳法考情聚焦：1新课标区对数学归纳法的考查在去年有加强的趋势，望能引起足够的重视；2以解答题的形式呈现，属中档题。例4：等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值;（11）当b=2时，记 证明：对任意的 ，不等式成立【解析】因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,当时,又因为为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，, 则,所以 . 下面用数学归纳法证明不等式成立.当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.假设当时不等式成立,即成
7、立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立.由、可得不等式恒成立.注：（1）用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n=k到n=k+1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。（2）在本例证明过程中，考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值供稿通项，判断命题的真假，在由n=k到n=k+1的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。（3）在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n=k+1时证明的目标，充分考
8、虑由n=k到n=k+1时，命题形式之间的区别和联系。【高考真题探究】1（2010山东高考文科）观察，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（ ）（A） (B) (C) (D)【命题立意】本题考查归纳推理的有关知识，考查了考生的观察问题，分析问题解决问题的能力.【思路点拨】观察所给的结论，通过归纳类比联想，得出结论.【规范解答】选D通过观察所给的结论可知，若是偶函数，则导函数是奇函数，故选D2（2010陕西高考理科）观察下列等式：,，根据上述规律，第五个等式为 _.【命题立意】本题考查归纳推理，属送分题【思路点拨】找出等式两边底数的规律是解题的关键【规范解答】由所给等式可得：等
9、式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：即左边底数的和等于右边的底数。故第五个等式为：【答案】 3（2010北京高考理科20）已知集合对于，定义A与B的差为 A与B之间的距离为；（）证明：，且;（）证明：三个数中至少有一个是偶数() 设P，P中有m(m2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P). 证明：（P）.【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力，考查了反证法、不等式证明等知识本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求要求教师真正的重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”、“创新能力”的培养【思路点拨】（I）直接按定义证明即可；（）“至少”问题可采用反
10、证法证明；()把表示出来，再利用均值不等式证明【规范解答】（I）设， 因为，所以, 从而 又由题意知，.当时，; 当时，所以 (II)设， ，. 记，由（I）可知 ， 所以中1的个数为，中1的个数为 设是使成立的的个数，则 由此可知，三个数不可能都是奇数， 即,三个数中至少有一个是偶数（III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，设中所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0则由于所以从而【方法技巧】（1）证明“至少有一个”的时，一般采用反证法；（2）证明不等式时要多观察形式，适当变形转化为基本不等式4（2010江苏高考23）已知ABC的三边长都是有理数。求证：cosA是有理数；（2）求证：对
11、任意正整数n，cosnA是有理数。【命题立意】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。【思路点拨】（1）利用余弦定理表示cosA，由三边是有理数，求得结论；（2）可利用数学归纳法证明.【规范解答】方法一：（1）设三边长分别为，是有理数，是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，必为有理数，cosA是有理数。（2）当时，显然cosA是有理数；当时，因为cosA是有理数， 也是有理数；假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。当时，解得：cosA，均是有理数，是有理数，是有理数。即当时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n，co
12、snA是有理数。方法二：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知是有理数。（2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。假设当时，和都是有理数。当时，由，及和归纳假设，知和都是有理数。即当时，结论成立。综合、可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。5（2009江苏高考）设0,求证：.【解析】本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。证明：因为0,所以0，0，从而0，即.6（2008安徽高考）设数列满足为实数（）证明：对任意成立的充分必要条件是；（）设，证明：;（）设，证明：【解析】（）必要性：，又，即.充分性：
13、设，对任意用数学归纳法证明.当时，.假设当时，则，且，.由数学归纳法知，对任意成立.() 设，当时，结论成立；当时，.，由（）知，且，.()设,当时，结论成立；当时，由()知，.【跟踪模拟训练】一、选择题（每小题6分，共36分）1已知是的充分不必要条件，则是的（ ）（） 充分不必要条件 （） 必要不充分条件（） 充要条件 （） 既不充分也不必要条件2设a、b、c都是正数，则,三个数（ ）A、都大于2 B、至少有一个大于2 C、至少有一个不大于2 D、至少有一个不小于23在中，所对的边分别为，且，则一定是（ ）（） 等腰三角形 （） 直角三角形 （）等边三角形 （） 等腰直角三角形4 5.已知函数的定义域为，若对于任意的，都有，则称为上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为 （ ） （） （B） （C） （D）5.给定正整数n(n2)按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1，2，3，n，在下面一行的每相
