《齐次和非齐次线性方程组的解法12月25日.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《齐次和非齐次线性方程组的解法12月25日.doc（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性方程组的解法注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。一、齐次线性方程组的解法定理 齐次线性方程组一定有解：(1) 若齐次线性方程组，则只有零解；(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是.（注：当时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式.）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于. 2、非齐次线性方程组的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组所对应的同解方程组。由上面的定理可知，若是系数矩阵的行数（
2、也即方程的个数），是未知量的个数，则有：（1）当时，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式；（3）当且时，此时系数矩阵的行列式，故齐次线性方程组只有零解；（4）当时，此时，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“”.例 解线性方程组 解法一：将系数矩阵A化为阶梯形矩阵 显然有，则方程组仅有零解，即.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A的行列式：，知方程组仅有零解，即.例 解线性方程组
3、解：将系数矩阵A化为简化阶梯形矩阵 可得，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 （其中，为自由未知量）令，得；令，得；令，得，于是得到原方程组的一个基础解系为，.所以，原方程组的通解为（，）.例3 求齐次线性方程组的一个基础解系，并以该基础解系表示方程组的全部解. 解：将系数矩阵化成简化阶梯形矩阵 可得，则方程组有无穷多解，其同解方程组为（其中,为自由未知量）令，得；令，得，于是得到原方程组的一个基础解系为,所以，原方程组的通解为（其中,为任意实数）.二、非齐次线性方程组的解法 唯一解： 线性方程组有唯一解例 解线性方程组解： 可见，则方程组有唯一解，所以方程组的解为 无解：线性方程组无解（或若
4、阶梯形方程组出现，则原方程组无解）例 解线性方程组解：，可见，所以原方程组无解. 无穷多解：线性方程组有无穷多解例 解线性方程组解：可见，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 （其中,为自由未知量）令得原方程组的一个特解.又原方程组的导出组的同解方程组为（其中,为自由未知量）令，得；令，得，于是得到导出组的一个基础解系为，。所以，原方程组的通解为（，）.例 求线性方程组 的全部解.解： 可见，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为 （其中为自由未知量） 令，可得原方程组的一个特解.又原方程组的导出组的同解方程组为（其中为自由未知量）令（注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数），得，于是得到导出组的一个基础解系为.所以，原方程组的通解为 （）.
