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1、专题三十九 直接证明与间接证明【高频考点解读】1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点2.了解间接证明的一种基本方法反证法;了解反证法的思考过程、特点【热点题型】题型一 直接证明例1、若P,Q(a0),则P,Q的大小关系为()APQBPQCP2,求证:2与0,证明 a2.【证明】要证 a2,只需证 (2)因为a0,所以(2)0,所以只需证22,即2(2)84,只需证a2.因为a0,a2显然成立,所以要证的不等式成立【提分秘籍】 分析法是逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需要用到的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是
2、含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法,注意用分析法证题时,一定要严格按照格式书写【举一反三】已知非零向量a,b,且ab,求证:.【高考风向标】 1(2014山东卷) 用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x2axb0至少有一个实根”时,要做的假设是()A. 方程x2axb0没有实根 B. 方程x2axb0至多有一个实根 C. 方程x2axb0至多有两个实根 D. 方程x2axb0恰好有两个实根【答案】A【解析】 “方程x2axb0至少有一个实根”等价于“方程x2axb0有一个实根或两个实根”,所以该命题的否定是“方程x2axb0没有实根”故选A.2(2013北京卷
3、)已知an是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an1,an2,的最小值记为Bn,dnAnBn.(1)若an为2,1,4,3,2,1,4,3,是一个周期为4的数列(即对任意nN*,an4an),写出d1,d2,d3,d4的值;(2)设d是非负整数,证明:dnd(n1,2,3,)的充分必要条件为an是公差为d的等差数列;(3)证明:若a12,dn1(n1,2,3,),则an的项只能是1或者2,且有无穷多项为1. 【随堂巩固】 1用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设为()Aa,b,c中至少有两个偶数Ba,b, c中至少有两个偶
4、数或都是奇数Ca,b,c都是奇数D a,b,c都是偶数解析:“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”答案:B2若x,yR,则下面四个式子中恒成立的是()Alog2(12x2)0Bx2y22(xy1)Cx23xy2y2 D. 3分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设abc,且abc0,求证 a”索的因应是()Aab0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0 4已知函数yf(x)的定义域为D,若对于任意的x1,x2D(x1x2),都有f,则称yf(x)为D上的凹函数由此可得下列函数中为凹函数的是()Aylog2x ByCyx2 Dyx3解析:可以根据图象直观观察,对于
5、C证明如下: 5不相等的三个正数a,b,c成等差数列,并且x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,则x2,b2,y2三数()A成等比数列而非等差数列B成等差数列而非等比数列C既成等差数列又成等比数列D既非等差数列又非等比数列 6设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)单调递减,若x1x20,则f(x1)f(x2)的值()A恒为负值 B恒等于零C恒为正值D无法确定正负解析:由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1x20,可知x1x2,f(x1)f(x2)f(x2),则f(x1)f(x2)0,故选A.答案:A7某同学准备
6、用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在0,1上有意义,且f(0)f(1),如果对于不同的x1,x20,1,都有|f(x1)f(x2)|x1x2|,求证:|f(x1)f(x2)|.那么他的反设应该是_答案:“x1,x20,1,使得|f(x1)f(x2) |100,求证:a1,a2,a3,a4中至少有一个数大于25. 11已知m0,a,bR,求证:2.证明:(分析法)m0,1m0.要证原不等式成立,只需证明(amb)2(1m)(a2mb2),即证m(a22abb2)0,即证(ab)20,而(ab)20显然成立故原不等式得证12(1)设x1,y1,证明xyxy;(2)设1abc,证明logablo
7、gbclogcalogbalogcblogac. 13已知a,b,c是互不相等的非零实数,用反证法证明三个方程ax22bxc0,bx22cxa0,cx22axb0至少有一个方程有两个相异实根证明:假设三个方程都没有两个相异实根,则14b24ac0,24c24ab0,34a24bc0.上述三个式子相加得:a22abb2b22bcc2c22aca20.即(ab)2(bc)2(ca)20.由已知a,b,c是互不相等的非零实数上式“”不能同时成立,即(ab)2(bc)2(ca)20,与事实不符,假设不成立,原结论成立即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根14在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,试问A,B,C是否成等差数列,若不成等差数列,请说明理由若成等差数列,请给出证明