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1、圆锥曲线问题的探究与发现教学设计浙江师范大学附属中学王谦一、问题导入，引发探究师：我在旅游时买回来一种磁性蛇蛋玩具（如图），所谓生活处处皆学问嘛，我把它运动过程中的轴截面用图形计算器做出了以下有趣的现象：两个全等的椭圆形卵，相互依偎旋转（动画）。你能通过所学解析几何知识，构造出这种有趣的现象吗？二、实验探究，交流发现探究1卵之由来 椭圆的形成（1）单个定椭圆的形成椭圆的定义：平面内到两定点 _、的距离之和等于常数 （大于1 ）的点的轨迹叫做 椭圆。（即若平面内的动点 到两定点-、丿的距离之和等于常数（大于卜H）,则点厂的 轨迹为以-、为焦点的椭圆。）思考1：如何使 I I 丨为定值？（不妨将两
2、条线段的长度和转化为一条线段，即在线段-的延长线上取点，使得一 I 12 /-l,此时丄二|为定值则可转化为人 为定值。）思考2:若丘 为定值，则J点的轨迹是什么？定点 与点轨迹的位置关系?（以定点 0为圆心,1团 为半径的圆。由于 二 ，则点在圆内。）思考3：如何确定点的位置，使得 :_，且？（线段的中垂线与线段一：的交点为点/o）揭示思路来源：（高中数学选修2-1 P49 7）如图，圆一的半径为定长 二，是圆J内一个定点，J是圆上任意一点，线段丄7的垂直平分线I和半径JI相交于点2 ,当点J在圆上运动时，点2的轨迹是什么？为什么？（设圆J的半径为:由椭圆定义，I（常数），且-，所以当点在圆
3、周上运动时，点 厂的轨迹是以为焦点的椭圆。）图形计算器作图验证：以圆与定点所在直线为丄轴，中垂线为轴建立直角坐标系，设圆半径 展6, |阳冃,即圆0：（兀+2+员，点4（2,0），则-点轨迹 r? tyiW t- ” : |-|m :忙胖国 -r-, 辿堂疔堆d是以以 0 为焦点的椭圆，椭圆方程卞賓娥r H區ant申圖 * 5减曲妊 gMitga (2) 单个动椭圆的形成思考4:构造一种动椭圆的方式(由于椭圆形状不变，即离心率不变，而长轴长-厂-为定值，则-一 =也要为定值，因此可将圆内点取在圆一的同心圆 上_ ， . 当丿点 /在圆0：上动时，即可得到动椭圆。)图形计算器作图验证：当圆内动点
4、取在圆一的同心圆/-? 上，运动点，即得到动椭圆。(3) 两个椭圆的形成观察两个椭圆相互依偎旋转的几个画面，分析两椭圆的位置关系。判断两个椭圆关于 对称轴.对称，且直线.过两椭圆公共点，所以直线 为两椭圆的公切线。因而找到公切线.，作椭圆二关于切线.的对称椭圆彳即可。探究2 :卵之所依一一切线的判断与证明线段貝寥的垂直平分线与椭圆的位置关系(1)利用图形计算器中的图象分析”工具直观判断与椭圆的位置关系设圆J上动点_ 2-mB (用卫)，则线段的中垂线/的方程为用 加，将动点B的横坐标保 存为变量匸,纵坐标保存为变量,随着J点的改变，在Graphs中画出相应的动直线.用 图形计算器中的 图象分析
5、”工具找出椭圆所在区域内的直线 .与椭圆的交点，拖动点 J，动 态观测交点个数的变化， 发现无论点一在何处，动直线.与椭圆只有唯 个交点 ,因此 判断直线与椭圆相切，并可求出该切点 2的坐标也可以将椭圆方程与直线方程联立，用代数”工具中的solve ()求出方程组的解，从而判断根的情况.证明椭圆匸与直线相切.不妨设直线.：.1 =,与椭圆方程联立jPy = tx+b5?+y=45,得（5+9PW+18加+9几45二0，因此 4=（1鸥齐4（5+9卩）（9几45）=180（求川 + 5）?2-m.牌*+ #4将 1代入上式，用代数工具中的expand（）化简 式子，得一.，所以椭圆与直线.相切，
6、切点为2 .（3）证明由任意圆J上的动点J和圆内一点确定的椭圆匸与线段J中垂线.均相切（反证法）因为椭圆二是点丄的轨迹，而点丄是直线与线段丄；中垂线.的交点，所以点丄既 在椭圆丄上，也在直线上。因此，直线与椭圆至少有一个公共点，即直线与椭圆相切或相交。假设直线与椭圆相交，设另一个交点为 丄（：与J不重合）.因为丄J .,所以十；又因为，所以0|+|刊冃0恥创）为定值，而的旳=尸0|+|计刑，矛盾因此直线与椭圆相切。探究3:两卵相依一一对称旋转椭圆的形成与动画当圆内动点1取在圆-的同心圆I;厂上，作椭圆一关于切线的对称椭圆?,运动点，隐藏相关坐标系与辅助圆等图形，呈现两卵相互依偎旋转的有趣效果。
7、改变一些问题条件，进行深入探究与发现。探究4：改变点位置，探究点 L轨迹(1)曲线判断：利用 TI图形计算器作图分析，拖动点忙，当点忙在定圆J内且不与圆心一重合时，交点J的轨迹是椭圆；当点在定圆J外时，则 冋L交点p的轨迹是双曲线；当点乂与圆心重合时，点p的轨迹是圆一的同心圆；当点在圆周上时，点的轨迹是是一点(圆心-).方程证明：圆17，_，设点忙；，可解得点的轨迹方程为当或；时，点/的轨迹为圆心当且：一I时，点丄的轨迹方程为当1:时，点丄的轨迹为圆 ：（戒讨二9；当- 且：匚时，点的轨迹为椭圆；当i或 矿4时，点一的轨迹为双曲线。探究5:改变切线位置，探究由切线得到的包络图形查阅有关参考书籍
8、，了解圆锥曲线的包络线，并利用图形计算器作出椭圆、双曲线的包络图形，自主探究抛物线的包络线（将定圆改为定直线）。结论：所谓包络图，就是指有一条曲线按照一定运动规律运动，保留其所有瞬间位置的影像，会有一条曲线能够和该运动曲线所有位置相切，这条曲线就成为该运动曲线的包络线。II探究6:拓展延伸：椭圆切线的几个性质及其应用性质1:一1是椭圆的两个焦点，若点 丄是椭圆上异于长轴两端点的任一点，贝U厂点的切线平分 纠PE 的外角。0 6S1= YLP./ L-F2PQ性质T： P点处的法线（过P点且垂直于切线）平分 纠P%。（即为椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭
9、圆的另一个焦点上。） 课后探究：阅读数学选修 2-1 P75阅读与思考一一圆锥曲线的光学性质及其应用，了解双曲 线、抛物线的光学性质。1 + 丄=1练习1:已知-一一为椭圆彳 ： 的左、右焦点，点 F为椭圆上任一点，过焦点-亠 向纠阴作垂线，垂足为刀，则点。的轨迹是，轨迹方程是解：（1）直观判断：作轨迹（2）严谨证明：圆的定义由此得到:性质2:一】是椭圆的两个焦点，亠j凡是长轴的两个端点， 过椭圆上异于 二 的任 一点厂的切线，过一】做切线的垂线，垂足分别为一】，则一在以长轴为直径的圆上。练习2:已知，一为椭圆1 的左、右焦点，点.匸为椭圆上任一点，直线.与椭圆相切与点丄，且到的垂线长分别为，求证：;丄为定值。解：（1）直观判断：作图（2）严谨证明：利用性质2及圆的相交弦性质,他二|坯厲 DJ二丛占 p A2F11= （a 弋）血+c） = aa = i3由此得到:p+与E1 E1性质3：已知椭圆为-：J i_，则焦点到椭圆任一切线的垂线长乘积等于J。p,1D?课后探究2：已知为椭圆： 的左、右焦点，点为椭圆上任一点，直线.过点且-至,的垂线长分别为，则当- 时，直线与椭圆的位置关系；（相交）当二f 时，直线与椭圆的位置关系。（相离）（类比直线与圆位置关系的几何法，此为直线与椭圆位置关系的几何法课后探究：双曲线、抛物线的切线是否有类似性质
