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1、第八章 矩阵一 内容概述1 基本概念1 矩阵 设p是一个数域，是一个文字，则称以数域P上的多项式作为元素的矩阵为矩阵，记为 A（）,B()等。2矩阵的运算：加法，减法，乘法，数乘和转置等，伴随矩阵，行列式，矩阵的秩。可逆矩阵，矩阵的初等变换，矩阵的等价。3行列式因子：设m*n的 矩阵A()的秩为r，对于正整数k,1kr在A()中所有k 级子式的首项系数为1的最大公因式称为 A() 的K级行列式因子。记为D().4矩阵的标准形，不变因子r1,d()(i=1,2.r)是首项系数为1的多项式且d()|d()(i=1,2,r-1)称为A() 的标准形。d(),d(),d()称为A() 的不变因子。5)
2、行列式因子与不变因子的关系：D()=d()d()k=1,2,r. d()=D() d()=K=2,3r6)初等因子，设 A与 n*n 矩阵，把A 的每个次数大于0不变因子分解成互不相同的一次因式之方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）称为A 的初等因子。 A的初等因子和不变因子相互唯一决定。7）若当标准形 J为若当块2. 矩阵等价的充分必要条件：设A与B都是sn的-矩阵 则AB=PAQ=B其中P和Q都是可逆矩阵A与B有相同的标准形=A 与B有相同的行列式因子=A与B有相同的不变因子3矩阵相似的充分必要条件：设A,B都是n阶方阵则=E-AE-B =A与B有相同的初等因子=A
3、与B有相同的不变因子=E-A与E-B有相同的标准形4矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件：（1） 有个线性无关的特征向量（2） 初等因子全是一次的（3） 最小多项式无重根5如何求矩阵A的若当标准形。方法步骤；（1） 利用出倒变换把 E-A化成对角形，分解主独角戏上的多项式就得到E-A 的全部初等因子（2） 相应于每个初等因子作出一个m 阶若当块（3） 把全部若当块合起来既求得矩阵A的若当标准形.二 例题选讲。 例1下列 阶矩阵 是否为满秩矩阵？是否可逆矩阵？若可逆试求其逆。（1） A=; (2)A=解（1）=-2！=0秩=3但不可逆（2）=2!=0秩=2且可逆=亦可用初等变换法求逆。例2 求矩阵
4、A = 的标准形解； 因为A所以，的标准形为diag(1,+)3 求矩阵A =的不变因子与行列式因子解 由于A的左下角有一个n-1阶子式等于非零常数 故D=1从而d=d=d=1而=+a+a+a=f故d=D=f例4 证明A 与A相似从而有相同的特征值，但特征向量不一定相同 （东北师范大学）证：设A为n阶矩阵，且E-A 的不变因子为d,d,d .那么存在可逆矩阵P,Q使PQ= 例5 求A=的最小多项式解 E-A= (1)由 (1)有=1D=1即d=d=1从(1) 还可以得到D= 而D=d=-16-20故A 的最小多项式为-16-20例6 求 A的全体零化多项式集，其中A= （大连理工大学）解： =
5、4A令g(x)=-4x 则g(x) 是A的一个零化多项式设A的最小多项式为m(x) 则m(x)|-4x 而-4x=x(x+2)(x-2)因此 g(x) 首项系数为1的一切因式x,x+2,x-2,+2x., -2x,-4, -4x 而这些因式中零化多项式只有-2x,和-3xm(x)=-2x再设 A的零化多项式为M 则M=例7 证明：相似矩阵有相同的最小多项式（湖北大学）证 设AB 即存在可逆矩阵T 使B=AT设m,m分别为A与B 的最小多项式 且设m=+b+b+0=m=+b+bB+bE=TT m=0,m是 A的零化多项式，而m是A的最小多项式同理可证m|m又由其首项系数均为1，故m=m例8设 A
6、= 证明：有理数多项式f(X)使F(A)=0的充分必要条件是f(x)为 -5x+3的倍式。证：先求A=的最小多项式XE-A= D=1 d=1d=x-5x+3即A的最小多项式为x-5x+3 有理系数多项式f(x) 使f(A)=0(x-5x+3) |f(x)即f(x) 为x-5x+3的倍式例10 求 C= 的若当标准形解 E-C=由于3阶子式=-4,=1 D=1 d=d=d=1 d=即A的初等因子为 故 A的若当标准形为例11 求 A=的若当标准形解 E-A=由于3阶子式= 由于=1 D=1 d=d=d=1而D=d=D=例12 设4阶方阵A满足A+A-E=0且=2求A的Joedan标准形。解 由A
7、A= AA=E可得A +A-E 变为 -A-2E=0得- -2=0 A的最小多项式m|_-2 即m| 故最小多项式 m无重根。 故A与角矩阵相似又 A+E!=0 A-2E!=0 而(A+E)(A-2E)=0 A的特征根为-1，2 又 =-2 得A的特征根 不可能为 -1两个 1 只能是-1，-1，-1，和2故 A的Jordan标准形为两边取转置得QP=从而E-A与E-A 有相同的不变因子 ，所以AA=这说明A 与A有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。但特征向量不一定相同，比如设A=, 则A=当 =1时 由(E-A)=0得线性无关的特征向量为 =(1,0) 则 A属于1的全部特征向量为k其中
8、k为P中非零的任意常数。当 =1时 由(E-A)=0得线性无关的特征向量为=(0,1) 则 A属于1的全部特征向l其中l为P中非零的任意常数。显然 特征向量 k与l是不同的，因而它们具有不同的特征向量。例9 求矩阵 A= 的不变因子初等因子和若当标准形解 因为E-A=故 d =1. d= d= A的初等因子为, A的若当标准形为例13 写出以 为特征多项式为最小多项式的所有可能的互不相似的若当标准形解 由题设知所求矩阵的阶数为5，而且D= ,d=于是d=或 从而只能有两种类型 d=, d=, d=d=d=1d=. d= d= d=d=1 因此互不相似的若当标准形 有两种：与例14 判断下列复方
9、阵 那些是相似的：A= B= C=解 先分别计算矩阵A,B,C的特征地下室 得f = f=f=只有矩阵A与C才可能相似再求A与C的标准形 得 三个矩阵中仅A与C相似,B与A, B与C均不相似。例15 证明下列三个方阵 任何两个都不相似A= B= C=证 若 a=0 易见A,B,C的秩互不相同。故任何两个矩阵都不相似若A!=0 易见A,B,C的初等因子分别为-a, -a,-a; -a, 其中任二组初等因子均不相同，故 任何两个矩阵都不相似。例16 在有理数域。实数域，复数域中，查明下列矩阵是否相似于对角矩阵？(1) (2) (3)解 (1) =在有理数域内相似于(2) =-5+17-13=0 得
10、=1,=2+3, =2-3 由于B有三个相异的复特征根，所以B在复数域上与对角矩阵相似，但由于它仅有一个实根。所以B在实数域上不能相似于对角矩阵，因而更不能在有理数域相似于对角矩阵。(3)=-50+20=0f(-5)0 f(4)0 f=- f=+f在 (-,-5),(-5,4)(4,+)内各有一个实数根，从而C在实数域上可与对角矩阵相似，因而在复数域上也与对角矩阵相似。又 f 无有理根， B在有理数域上无特征根，因而C在有理数域上不能与对角矩阵相似例17 设A=是复矩阵 i）求出A的一切可能的若当标准形。ii）给出A可以对角化的一个充分必要条件。解 i）|E-A |= (+1) 若a0 可以验
11、算(A-2E)(A+E)0 A的最小多项式是 (+1) 不计若当快的次序，A的若当标准形为 若a=0 A的最小多项式是 (-2)(+1) 不计若当快的次序A的若当标准形为ii）A可对角化A的最小多项式无重根即A的最小多项式为(-2)(+1) a=0例18 设A是一个n阶矩阵，如果多项式g(x)使g(A) =0称g(x)为A的零化多项式。记()或m()为A的最小多项式。证明f(A)=0m()|f()证： “” 若f()=m()q ()+r() 其中(r()(m()或r()=0. 0=f(A)=m(A)q(A)+r(A) 又m() 是A的最小多项式，若r()0 而r(A)=0.(r()(m() 与
12、m()是最小多项式矛盾，故r()=0 m()|f() “” 若m()|f () 则f()=m()q() f(A)=m(A)q(A)=0q(A)=0例19 设A为n阶方阵,证明A的最小多项式m()是最后一个不变因子, 证: A的特征多项式为f()=|E-A |=()=()() (1) 特征矩阵E-A的伴随矩阵为= M() (2) 其中M（）是n阶-矩阵 其 个元素的最大公因式为1 将(1)(2)代入(E-A) =f()E 得 (E-A) M()=()() ()0 (E-A) M()= () E (3) 于是由-矩阵的余式定理得(A)=0 所以 () = M()q() (4) 另一方面 因为m(A
13、)=0. 所以存在n阶-矩阵 使 m()E= (E-A) () (5)有(3)(4)(5)得 (E-A) M()=(E-A)() q() 从而M()=()q()然后M() 中个元素的最大公因式为1.于是q()=1, 因此 m()=() 例20 设f()是n阶阵A的特征多项式，m()是A的最小多项式，证明 1）是A的特征根 是是m()的根 2）若A的特征根两二互异，则f()=m(); 3）f()|证：1）充分性 显然真。必要性 因为A的特征矩阵E-A的秩是n，易知f()=|E-A| = 任取A的一个特征根 。由f()=0 知必存在, 使=0 (1in) , 但 | 于是 =0, 但m()=()
14、, 故m()=(), 是m()的根 2） 由题设知f()= 这里 (i=1,2, n) 两二互异，由1）有m()=f() 3） 因为 ()=m(), 但每个不变因子 都是()的因式，故 | 即f()|例21 证：1）口零矩阵可以对角化 2）口零矩阵不能与对角化矩阵相似证（1）设=E，g(x)=-1. 则 g(A)=0 m()|g() g()无重根，m()无重根 因此A可以对角化（2）反证法，若A与是某一对角矩阵相似，那么存在可逆矩阵P，使 A=DP =P 而=0, P=0 =0 D为对角矩阵 因而 D=0 例22 如复数域F上的n阶方阵=A（1m）求证：A必与一个对角矩阵相似，若限于实数域，如何？证 由题设条件知 A有零化多项式g
