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1、单元质检七不等式、推理与证明(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2016河南洛阳二模)已知条件p:x1,q:0对满足abc恒成立,则的取值范围是()A.(-,0B.(-,1)C.(-,4)D.(4,+)8.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为()A.n+1B.2nC.D.n2+n+19.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件
2、D.120件10.(2016河南信阳、三门峡一模)已知O为坐标原点,M(x,y)为不等式组表示的平面区域内的动点,点A的坐标为(2,1),则z=的最大值为()A.2B.4C.1D.311.设a,b是两个实数,给出下列条件:a+b1;a+b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是()A.B.C.D.12.已知任意非零实数x,y满足3x2+4xy(x2+y2)恒成立,则实数的最小值为()A.4B.5C.D.导学号37270585二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569
3、五棱锥6610正方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.14.(2016河南驻马店期末)已知f(x)=lg(100x+1)-x,则f(x)的最小值为.15.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,xn,都有f.若y=sin x在区间(0,)上是凸函数,则在ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是.导学号3727058616.(2016山西太原三模)已知实数x,y满足约束条件则23x+2y的最大值是.参考答案单元质检七不等式、推理与证明1.A解析 由x1,推出1,故p是q的充分条件;由1,得0,解得x1.故p不是q的必要条件,故选A.2
4、.C解析 因为f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确.3.B解析 作出变量x,y满足约束条件表示的可行域,如图三角形ABC及其内部区域,点A,B,C的坐标依次为(0,2),(3,0),(1,3).将z=2x+5y变形为y=-x+,可知当y=-x+经过点B时,z取最小值6.故选B.4.D解析 当n=1时,左边=1+2+22+23.5.B解析 若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑
5、球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,直到袋中所有球都被放入盒中时,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,选B.6.B解析 作出约束条件所对应的平面区域如图阴影部分.目标函数z=ax-y可化为y=ax-z,可知直线y=ax-z的斜率为a,在y轴上的截距为-z.z=ax-y仅在点A(4,4)处取得最小值,斜率a1,即实数a的取值范围为(-,1),故选B.7.C解析 变形得(a-c)=(a-b)+(b-c)=1+1,而1+14(当且仅当(a-b)2=(b-c)2时等号成立),则0),即x=80时等号成立,故选B.10.
6、C解析 作出约束条件所表示的平面区域如图阴影部分.因为z=(2,1)(x-2,y-1)=2x-4+y-1=2x+y-5,又z=2x+y-5可化为直线y=-2x+z+5,所以由图可知,当直线y=-2x+z+5过A(2,2)时,直线在y轴上的截距最大,此时z的最大值为1,故选C.11.C解析 若a=,b=,则a+b1,但a1,b2,故推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故推不出;对于,若a+b2,则a,b中至少有一个大于1,用反证法证明:假设a1,且b1,则a+b2与a+b2矛盾,因此假设不成立,即a,b中至少有一个大于1.故能推出.因此选C.12.A解析 依题意,得3x2+4xy3x2+x2
7、+(2y)2=4(x2+y2)(当且仅当x=2y时等号成立).因此有4,当且仅当x=2y时等号成立,即的最大值是4,结合题意得,故4,即的最小值是4.13.F+V-E=2解析 三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;正方体中6+8-12=2;由此归纳可得F+V-E=2.14.lg 2解析 f(x)=lg(100x+1)-x=lg =lg(10x+1)lg 2,当且仅当x=0时等号成立,f(x)的最小值为lg 2.15.解析 由题意知,凸函数f (x)满足f,又y=sin x在区间(0,)上是凸函数,故sin A+sin B+sin C3sin =3sin .16.32解析 设z=3x+2y,由z=3x+2y得y=-x+.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分,由图象可知当直线y=-x+经过点B时,直线y=-x+在y轴上的截距最大,此时z也最大.由解得即B(1,1).故zmax=31+21=5,则23x+2y的最大值是25=32.
