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1、初二数学第十一章全等三角形综合复习牢记：“有三个角相应相等”和“有两边及其中一边的对角相应相等”的两个三角形不一定全等。例 如图,四点共线,，,。求证：。例2. 如图,在中,是AC的平分线,，垂足为。求证:。例3. 如图，在中，。为延长线上一点,点在上,连接和。求证:。例. 如图,/,/，求证:。例 如图，分别是外角和的平分线,它们交于点。求证：为的平分线。例6.如图，是的边上的点,且，是的中线。求证：。例7 如图,在中,，为上任意一点。求证：。同步练习一、选择题:1 能使两个直角三角形全等的条件是( ) 两直角边相应相等B.一锐角相应相等. 两锐角相应相等. 斜边相等. 根据下列条件,能画出
2、唯一的是( )A. ，. ,，C ,. ,3.如图,已知,增长下列条件：;；。其中能使的条件有( )A.4个.个C. 2个D 1个4如图，,，交于点,下列不对的的是( ). B. C. 不全等于D.是等腰三角形5 如图,已知，,则等于( )A. B. C D. 无法拟定二、填空题:6.如图，在中，的平分线交于点,且,则点到的距离等于_;.如图，已知,是上的两点，且,若，,则_；8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，为折痕，则的大小为_;9.如图，在等腰中,，,平分交于,于,若,则的周长等于_;1. 如图，点在同一条直线上,/，/，且，若，,则_；三、解答题:1. 如图，为等边三角形,点分别在
3、上，且,与交于点。求的度数。2. 如图，,，为上一点,，交延长线于点。求证:。答案例1.思路分析：从结论入手,全等条件只有;由两边同步减去得到，又得到一种全等条件。还缺少一种全等条件，可以是,也可以是。由条件，可得，再加上，,可以证明，从而得到。解答过程：,在与中(），即在与中(SAS)解题后的思考：本题的分析措施事实上是“两头凑”的思想措施：一方面从问题或结论入手,看还需要什么条件；另一方面从条件入手,看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间与否吻合或具有明显的联系,从而得出解题思路。小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，并且告诉我们如何去分析一种题目，得出
4、解题思路。例.思路分析：直接证明比较困难，我们可以间接证明，即找到,证明且。也可以当作将“转移”到。那么在哪里呢？角的对称性提示我们将延长交于，则构造了FBD，可以通过证明三角形全等来证明2=D，可以由三角形外角定理得DF=+。解答过程:延长交于在与中(ASA 又 。解题后的思考：由于角是轴对称图形，因此我们可以运用翻折来构造或发现全等三角形。例3. 思路分析:可以运用全等三角形来证明这两条线段相等，核心是要找到这两个三角形。以线段为边的绕点顺时针旋转到的位置,而线段正好是的边,故只要证明它们全等即可。解答过程:,为延长线上一点在与中(SAS)。解题后的思考:运用旋转的观点，不仅有助于寻找全等
5、三角形，并且有助于找相应边和相应角。小结：运用三角形全等证明线段或角相等是重要的措施,但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要运用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或运用辅助线构造全等三角形。例4思路分析:有关四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。解答过程：连接/，/,在与中(AS)。解题后的思考:连接四边形的对角线,是构造全等三角形的常用措施。例5 思路分析：要证明“为的平分线”，可以运用点到的距离相等来证明，故应过点向作垂线;另一方面，为了运用已知条件“分别是和的平分线”，也需要作出点到两外角两边的距离。解答过程：过作于,于,于平
6、分，于,于平分,于，于，且于，于为的平分线。解题后的思考:题目已知中有角平分线的条件,或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线,运用角平分线的性质或鉴定来解答问题。例6.思路分析：要证明“”,不妨构造出一条等于的线段,然后证其等于。因此,延长至，使。解答过程：延长至点，使,连接在与中（SAS)，又，在与中(SAS)又。解题后的思考:三角形中倍长中线,可以构造全等三角形,继而得出某些线段和角相等,甚至可以证明两条直线平行。例.思路分析：欲证,不难想到运用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差不不小于第三边来证明，从而想到构造线段。而构造可以采用“截长
7、”和“补短”两种措施。解答过程：法一：在上截取，连接在与中(SS)在中，,即ABACPB-PC。法二:延长至，使，连接在与中（SAS)在中，。解题后的思考:当已知或求证中波及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于此外的较短线段，称为“截长”;或者将一条较短线段延长,使其等于此外的较短线段,然后证明这两条线段之和等于较长线段,称为“补短”。小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，后来随着学习的进一步还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要懂得辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。同步练习的答案一、选择题:1.A2. C3. B. C5. C二、填空题：6. 47. 8 9. 10. 6三、解答题：11. 解：为等边三角形，在与中(SA)。1. 证明：,在与中（AAS）。
