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1、高二数学 立体几何 球 正四面体 系统复习知识总结高二数学 立体几何 正四面体攀枝花学院 汇编：范文桥正四面体的性质：设正四面体的棱长为，则这个正四面体的(1)全面积 S全= ； (2)体积 V=；(3)对棱中点连线段的长 d= ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。)(4)相邻两面所成的二面角 = (5)对棱互相垂直。(6)侧棱与底面所成的角为=(7)外接球半径 R= ； (8)内切球半径 r= .(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).直角四面体的性质：有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.ABCDO
2、H如图，在直角四面体AOCB中，AOB=BOC=COA=90，OA=,OB=,OC=.则 不含直角的底面ABC是锐角三角形；直角顶点O在底面上的射影H是ABC的垂心；体积 V= ；底面面积SABC=；S2BOC=SBHCSABC；S2BOC+S2AOB+S2AOC=S2ABC ; 外接球半径 R= ；图1内切球半径 r=处理球的“内切”“外接”问题 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。 一、
3、棱锥的内切、外接球问题例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图1所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为由图形的对称性知，点也是外接球的球心设内切球半径为，外接球半径为正四面体的表面积正四面体的体积， 在中，即，得，得【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 ( 为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。图3图4图5二、球与棱柱的组合体问题1 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心
4、，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为，球半径为。如图3，截面图为正方形的内切圆，得；2 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。3 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。例2.在球面上有四个点、.如果、两两互相垂直，且,那么这个球的表面积是_.练习：一棱长为的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。4构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构
5、成的直角三角形便可得球半径。例4.已知三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。图6解：如图6，由题意得两球心、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为，则，正三棱柱的高为，由中，得，练习：正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。球的表面积 体积 与正四面体的练习一1圆柱的侧面展开图是边长为6和4的矩形，则圆柱的全面积为()A6(43) B8(31)C6(43)或8(31) D6(41)或8)(32) 2已知正方体外接球的体积是，那么正方体的
6、棱长等于()A2 B. C. D. 3设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 B.a2 C. a2 D5a2 4将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面)，所得几何体的表面积为()A7 B6 C3 D9 5半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为()A.6 B.2 C2 D512 二、填空题6.如图所示，在长方体ABCDABCD中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为_7已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120，底面圆的半径为1，则该圆锥的体
7、积为_8一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为_三、解答题9已知正四棱锥SABCD中，SA2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为多少？10已知六棱锥PABCDEF，其中底面为正六边形，点P在底面上的投影为正六边形中心，底面边长为2cm，侧棱长为3cm，求六棱锥PABCDEF的体积11棱长为a的正四面体的四个顶点均在一个球面上，求此球的表面积球的表面积 体积 与正四面体的练习二1正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为()A11 B12 C21 D322要做一
8、个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积最大，则高应为_3.在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm、最长为80 cm，则斜截圆柱侧面面积S_cm2.4把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为_球的表面积 体积 与正四面体的练习三1如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1中容器内水面的高度是_图1图22如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，长度为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一端点N在底面ABCD上运动，
9、则MN的中点P的轨迹(曲面)与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积为_3若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A. B. C. D.4.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_球的表面积 体积 与正四面体的练习四1、一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 （ ）A.3 B.4 C. D.62、将半径为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 （ ）A. B.2+ C.4+ D. 3、试求边长为的正四面体的棱切
10、球（与所有的棱都相切的球）的体积。球的表面积 体积 与正四面体的练习五1.正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）A B C2a2 D3a22.如图，A、B、C是表面积为48的球面上三点，AB=2，BC=4，ABC=60，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（ ）AarcsinBarccos CarcsinDarccos3.已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比_4.将3个半径为1的球和一个半径为1的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（ ）A BC D5.在半径为R的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是（ ）A3R2 B（1）R2 C（1）R2 D（1）R26.将半径都为l的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）.（A） （B） （C） （D）第 2 页 共 6 页
