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1、一九八一年（理科）一（本题满分6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A=有理数，B=无理数，试写出：1.AB, 2.AB.解：1.AB=实数,2.AB=。二（本题满分6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果。解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC。2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD。三（本题满分8分）下表所列各小题中，指出A是B
2、的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是。ABA是B的什么条件1四边形ABCD为平行四边形四边形ABCD为矩形必要条件2a=3|a|=3充分条件3=1500sin=充分条件4点（a,b)在圆x2+y2=R2上a2+b2=R2充要条件解：见上表。四（本题满分8分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明。证二：解析法：以A为原点，射线AB为x轴正向，建立直角坐标系，则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA). Y C b a A O c B X 由两点距离公式得：a2=|BC|2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五（本题满分1
3、0分）解不等式（x为未知数）：解：右式=x2(x-a-b-c)0原不等式解是x0,xa+b+c。六（本题满分10分）用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立。证：略。七（本题满分15分）设1980年底我国人口以10亿计算。（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？下列对数值可供选用：lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1
4、.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,101.02,10（1.02）2，的第21项，即x=10（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,x=14.859（亿)2设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10（1+y%)2012，（1+y%)201.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)lg1.2.即 lg(1+y%)0.00396.1+y%1.0092,y%0.0092.答：略。八（本题满分17分）在1200的二面角P-a
5、-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B。已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10， P 1200 Q E B A F D C 1求直线AB和棱a所成的角;2求直线AB和平面Q所成的角。解：1.在平面P内作直线ADa于点D;在平面Q内，作直线BEa于点E，从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C。ABC等于AB和a所成的角。ADC为两面角P-a-Q的平面角，ADC=1200。又AD=2，BCDE为矩形，CD=BE=4。连接AC，由余弦定理得又因ADa,CDa,所以a垂直于ACD所在的平面。再由BCa得知BC垂直于ACD所在的平面，BCAC。在直角ABC中，2在ACD所在的平
6、面内，作AFCD交CD的延长线于点F。因为ACD所在的平面平面Q，AF平面Q。在ADF中，ADF=600，AD=2，AF=连结BF，于是ABF是AB和平面Q所成的角，而ABF为直角三角形，所以九（本题满分17分）给定双曲线1过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程。2过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由。解：设直线L的方程为y=k(x-2)+1, (1)将（1）式代入双曲线方程，得：又设P1（x1,y1),P2(x2,y2),则x
7、1,x2必须是（2）的两个实根，所以有按题意，因为在直线（1）上，所以再由的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为这就是所求的轨迹方程。2设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程，整理得设必须是（3）的两个实根，即如果B是Q1Q2的中点，就有，即，所以有综合起来，k应满足由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所以（I)无解。故满足题设中条件的直线不存在。十（附加题，本题满分20分，计入总分）已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1（如图）设AC=a，BC=b，作数列u1=a-b，u2=a2-ab+b2, u3=a3-a2b+ab2-b3,，uk=ak-ak
8、-1b+ak-2b2-+(-1)kbk;求证：un=un-1+un-2(n3)证：通项公式可写成uk=ak-ak-1b+ak-2b2-+(-1)kbk= E D A B F O C 因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,ab=ACBC=CD2=1。一九八一年（文科）一（本题满分6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A=有理数，B=无理数，试写出：1.AB, 2.AB.解：1.AB=实数,2.AB=。二（本题满分8分）化简：解：原式=。三（本题满分6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，
9、共有几种选法？写出所有可能的选举结果。解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC。2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD。四（本题满分10分）求函数f(x)=sinx+cosx在区间（-，）上的最大值。解：五（本题满分10分）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明。答： B a D c E A C b证：引AD垂直BC于D;引BE垂直CA的延长线于E。设ABC的面积为S，则将上式除以得：六（本题满10分）已知正方形ABCD的相对顶点A（0，-1）和C（2，5），求顶点B
10、和D的坐标。解：设AC中点为M（x,y）,则有又设AC斜率为k，则k=3。因此得BD的斜率为。故有直线BD的方程：又以M点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（-2，3）。（注：用复数法解亦可。）七（本题满分17分）设1980年底我国人口以10亿计算。（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？下列对数值可供选用：lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.0086
11、0 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,101.02,10（1.02）2，的第21项，即x=10（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,x=14.859（亿)2设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10（1+y%)2012，（1+y%)201.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)lg1.2.即 lg(1+y%)0.00396.1+y%1.0092,y%0.0092.答：略。八（本题满分15分）ABCD-A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：截面ACB1对角面DBB1D1。 D1 C1 A1 B1 D C O A B证：设AC、BD交于O点。作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1的图形。由于AC1是正四棱柱，所以ABCD是正方形，故ACBD;又BB1底面ABCD，故BB1AC。AC对角面BB1D1D。已知AC在截面ACB1内，故有截面ACB1对角面
