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1、初中数学论文关于一类动点最值问题的探讨随着新课标的全面实施，人人学有价值的数学已深入人心。近几年来，动点最值问题频频出现在各地中考、竞赛试卷中。这类试题突出了对学生基本数学素质的测试，加强了探究和创新意识，培养了学生灵活运用知识解决实际问题能力，对学生思维能力的提高有较大的帮助，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。本文试从以下几个方面对这类问题作一些简单的探讨。一、题中出现一个动点。1知L为一条公路，A、B为公路两旁的两个村庄，现在公路上建一家商店，问建在何处时商店到两村庄到商店距离和最小？分析：作B关于L的对称点B， 有MB=MB，于是MA+MB=MA+MBAB (当且
2、仅当从运动到AB和L的交点M 时等号成立)，建在M点符合条件。2如图，AB为O直径，AB=2，OC为半径，OCAB,D为AC三等分点，点P为OC上的动点，求AP+PD的最小值。 分折：作D关于OC的对称点D，于是有PA+PDAD,（当且仅当P运动到Po处，等号成立，易求AD=。3在正方形ABCD中，点E为AB上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。（2006全国初中数学竞赛浙江决赛）分析：作E关于BD对称点E，E在AB上，有PE+PC=PE+PCEC易求EC=26。4如图，正方形ABCD边长为16，P、Q分别是BC、CD上的定点，且BP=3 ,DQ=1,E为对
3、角线上一动点，求EP+EQ最小值。分析：作Q关于BD对称点QEP+EQ=EP+EQPQ过 Q作QM BC ,易求5正三角形ABC边长为a，D为BC的中点，P是AC边是的动点，连结PB，PD得到PBD求：（1）当点P 运动到AC的中点时，PBD的周长。（2）PBD的周长的最小值。（第十六届“希望杯”全国数学邀请赛，初二）分折：（1）易求PBD周长为(2)作B关于AC所在直线的对称点B,易求PBD周长的最小值为6 .L为直线，当A、B在L异侧（且A、B到L距离不相等），求 |MA-MB|最大值。分析： 做B关于L对称点B.MA-MB=MB-MAAB（当且仅当M运动到AB和L交点时MO时等号成立）7
4、.如图,两点A,B在直线L的同侧,A到L距离为AC=8,B到L的距离为BD=5,CD=4,点P在直线L上运动.则PA-PB最大值为_.(第十届“希望杯”全国数学邀请赛 初二 )分折:PA-PBAB,(当P运动到AB延长线和L交点时PO等号成立),过B作BEAC于E,易得. 小结:上述几题中,只出现一个动点,当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值.二、题中出现两个动点。8在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求 (2002年湖北选拔赛)分折:因AB
5、长为定值,四边形周长最短时有BC+CD+DA最短,作B关于y轴对称点B,A关于x轴对称点A,DA+DC+BC=DA+DC+BCBA(当D,C运动到AB和x轴y轴的交点时等号成立),易求直线AB解折式y= +,C0(0,),D0(-,0),此时=- 9知和y轴交于点A(0,3),和x轴交于B(1,0),C(5,0),求(1):此抛物线的解折式,(2)若一动点P自OA中点M出发,先到x轴上某点,设为E,再到抛物线对称轴上某点F,最后运动到A,求使P点运动总路程最短的点E和点F坐标,并求最短路径长(2006年北京中考)。分折：易求（1）（2）当P经过路线长最短时，P必走直线，即ME+EF+FA最短，
6、作A关于x=3对称点A(6,3)，M关于x轴的对称点M(0.-3/2)于是有ME+EF+FA=ME+EF+FAAM（当且仅当EF运动到E0F0时等号成立），易求直线AM解折式为，E0(),F0()于是，由勾股定理求得： 10如图：在ABC中,A=,MN分别AB,AC上动点,求BN+MN+MC最小值(2003年余姚中学保送生测试)分折:作B关于AC对称点B,C关于AB对称点C,有BN+MN+NC=BN+MN+MCBC(当M,N运动到M0,N0时等号成立),因A=,那么CAB=A=BAC,所以CAB=, AC=AB=AB=AC=20,所以ACB为正三角形,所以BC=20.小结：综上可知,当题中出现
7、两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值!三、题中出现三个动点时。11如图，在菱形ABCD中,AB=2,BAD=60,E,F,P分别为AB,BC,AC上动点,求PE+PF最小值分折:作E关于AC所直线的对称点E,于是有,PE+PF=PF+PEEF,又因为E在AB上运动,故当EF和AD,BC垂直时，E0F最短,易求E0F=。12如图，AOB=45，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求PQR周长的最小值。 分折：作P关于OA，OB对称点P1，P2 。于是有PQ+QR+PR=QP1+QR+RP2P1P2，由对称性易知P1OP2
8、为等腰RT,OP=OP1=OP2=10,P1P2= 13如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,若AC,AB是各有一个动点M,N,求BM+MN最小值. 分折:作B关于AC的对称点B,于是BM+MN=BM+MNBN,由于N在AB上运动,当N运动到N0时,BN0AB, BN最短为BN0,易求BH=,BB=，由BN0BABC,求得BN0=16. 小结：当题中出现三个动点时,在求解时应注意两点,(1),作定点关于动点所在直线的对称点,(2):同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题.四、动点最值在求代数最值问题中的应用。14求代数式最小值(第十三届希望杯数学邀请赛.初二) 分折:如图作BC=12,ABBC,CDBC,AB=2,CD=3,E为BC上一点,求EA+ED最小值，设BE=X,CE=12-X,EA+ED=作点D关于BC所在直线的对称点D,于是,EA+ED=EA+EDAD,易求AD=13.15 求函数y=最小值。分折：即本题为求x轴上点到（-1，2）和（2，1）这两点距离和最小值，作B关于x轴的对称点B,易求y最小=AB=小结：在这类代数最值问题中，我们应用数形结合的思想，将其转化为几何中动点最值问题，是解决问题的关键。总之:在这一类动点最值问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。3
