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1、2017年河南省六市高三第一次联考数学（理科）第卷（共60分）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则的子集的个数是（ ）A 0 B1 C2 D42.复数满足，则复数的实部与虚部之和为 （ ）A B C1 D03.设直线是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是 （ ）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则4. 给出下列四个结论： 已知服从正态分布，且，则；若命题，则；已知直线，则的充要条件是其中正确的结论的个数为：（ ）A 0 B1 C. 2 D35.在中，则的值是（ ）A1 B -1 C
2、. 2 D-26.下面程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的分别为495，135，则输出的 （ ）A0 B5 C. 45 D907.已知，其中实数满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是 （ ）A B C. 4 D8.已知是定义在上的偶函数，且恒成立，当时，则当时， （ ）A B C. D9.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围是 （ ）A B C. D10. 已知是双曲线的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以 为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A 3 B
3、 C. 2 D11. 一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图，图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形，则这个四面体的外接球的表面积是（ ）A B C. D12.中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个”；函数可以是某个圆的“优美函数”；正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形 其中正确的命题是
4、：（ ）A B C. D第卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若，则 14. 的展开式中，的系数为 （用数字填写答案）15. 在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为 16.椭圆的上、下顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是 三、解答题 （本题必作题5小题，共60分；选作题2小题，考生任作一题，共10分.） 17.观察下列三角形数表：假设第行的第二个数为，（1）归纳出与的关系式，并求出的通项公式；（2）设，求证：18.如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，（1）若，求证：
5、平面；（2）若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积19.为了对2016年某校中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95（1）若规定85分（包括85分）以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（2）若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：学生编号12345678数学分数6065707580859095物理分数7277808488909395化学分数6772768084879092用变量与
6、与的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；求与与的线性回归方程（系数精确到0.01），当某同学的数学成绩为50分时，估计其物理、化学两科的得分参考公式：相关系数，回归直线方程是：，其中，参考数据：，20. 如图，抛物线的焦点为，抛物线上一定点（1）求抛物线的方程及准线的方程；（2）过焦点的直线（不经过点）与抛物线交于两点，与准线交于点，记的斜率分别为，问是否存在常数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由21.已知函数，且函数的图象在点处的切线与直线垂直（1）求；（2）求证：当时，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参
7、数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；（2）将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得到的曲线向左平移1个单位，得到曲线，求曲线上的点到直线的距离的最小值23.选修4-5：不等式选讲设（1）求的解集；（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围试卷答案一、选择题1-5: CDDBB 6-10: CBBAC 11、12：BA二、填空题13. 14. -30 15. 12 16. 三、解答题17.（1）依题意，所以；（2）因为，所以，.18.（1）证明：设
8、交于，因为平面平面，所以，又因为，则易知四边形为正方形，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以，又易知，且，所以平面，又平面，所以，又，所以平面.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，所以易知平面的一个法向量为.平面的一个法向量为，设为二面角的平面角，则.得，所以，所以.19.解：（1）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理4 个优秀分数中选出3个与数学分数对应，种数是，然后剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是.根据乘法原理，满足条件的种数是.这8位同学的物理分数和数学分数分别对应种数共有.故所求的概率；（2）变量与与的相关系数分别是，所以看出，物理
9、与数学、化学与数学成绩都是高度正相关.设与与的线性回归方程分别是，根据所给的数据，可以计算出，所以与、与的回归方程分别是、，当时，当该生的数学为50分时，其物理、化学成绩分别约为66.85分、61.2分.20.解：（1）把代入，得，所以抛物线方程为，准线的方程为.（2）由条件可设直线的方程为.由抛物线准线，可知，又，所以，把直线的方程，代入抛物线方程，并整理，可得，设，则，又，故.因为三点共线，所以，即，所以，即存在常数，使得成立.21.解：（1）因为，故，故；依题意，；又，故，故，联立解得；（2）由（1）得，要证，即证；令，故当时，；令，因为的对称轴为，且，故存在，使得；故当时，故，即在上单调递增；当时，故，即在上单调递减；因为，故当时，又当时，所以，即.22.解：（1）曲线的直角坐标方程为，即，直线的普通方程为；（2）将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，得，即，再将所得曲线向左平移1个单位，得曲线，则曲线的参数方程为（为参数）.设曲线上任一点，则点到直线的距离（其中），所以点到直线的距离的最小值为.23.解：（1）由得：或或，解得，所以的解集为；（2），当且仅当时，取等号，由不等式对任意实数恒成立，可得，解得：或.故实数的取值范围是.
