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1、2014年考研高等数学系统复习第二章 导数与微分题型讲解一、 导数与微分定义导数的原始定义1. 设存在，求下列各极限：(1) ；答: .(2) . 答: .2. （112）已知在处可导，且则 （A） ； （B） ； （C） ； （D）. 答: .3. 设函数可导，则（ ） （A） ；（B） ；（C） ； （D）. 答: .4. 已知，求. 答: .5. 设函数对任何恒有，且，试确定. 答: .6. 设函数在点处连续，且，求. 答: .7. 设函数在点处存在二阶导数，且，求，. 答: .8. 求下列函数在指定点处的导数： （1） 设，求；答: .（2） 设，在处连续，求；答: .（3） 设，求.
2、 答: .（4） （122）设函数，其中为正整数，则 （A）. （B）. （C）. （D）. 答: .左导数、右导数与导数9. 研究函数在处的连续性和可导性. 答: 连续但不可导,因为.10. (011)设，则在点可导的充要条件为（A） 存在； （B） 存在； （C） 存在； （D） 存在. 答:.11. (951)设函数一阶连续可导，则是在点处可导的( )（A） 充分但不必要条件；（B）必要但非充分条件；（C） 充分必要条件；（D）既非充分又非必要条件. 答:.12. 设函数在点可导，则函数在点不可导的充要条件为（A）且；（B）且；（C）且；（D）且.答:.13. 设函数在点处连续，下列命题
3、错误的是（A）若存在，则；（B）若存在，则； （C） 若存在，则存在；（D）若存在，则存 在. 答:.14. （033）设函数，其中在处连续，则是在点处可导的（A） 充分但不必要条件；（B）必要但非充分条件；（C） 充分必要条件；（D）既非充分又非必要条件. 答:.15. (981)函数的不可导点的个数是( )（A） 3； （B） 2；（C） 1；（D） 0. 答:.16. 设，其中有二阶连续导数，（1） 求； （2）讨论在上的连续性.答:(1) ；(2) 在上的连续.导数与微分17. （061）设函数具有二阶导数，且为自变量在点处的增量，与分别为在点处的增量与微分，若，则 （A）.（B）.（
4、C）.（D）.答:.18. (981)已知函数在任意点处的增量为，且当时，是的高阶无穷小，则等于（A） ； （B） ；（C） ；（D） .答:.19. 设函数在处可导，按通常定义，则（ ）（A） -2； （B） -1；（C） 0；（D） 1.答:.二、复合函数求导数20. 若又在点处可导，求. 答:.21. （123）若函数，则. 答:.22. 若，求. 答:.23. 求下列函数的导数：（1） .答:.（2） .答:.（3） .答:.24. 求下列函数的导数：(1) ； 答:.(2) ； 答:.(3) ； 答: .(4) ，. 答: .25. 利用变换将方程化简，. 答:.三、参数方程求导数2
5、6. 设，求. 答:.27. 设，其中可导，且，求. 答:.28. （101）设，. 答:.29. 设，. 答:.四、隐函数求导数30. 设函数是由方程所确定的，求. 答:.31. 设函数是由方程所确定的，求.答: .32. （103）设可导函数由方程确定，则. 答: .33. 设，其中满足方程，其中及具有二阶导数，求. 答: , .34. 设函数是由方程组确定，求. 答: .五、反函数求导数35. 设是可导函数，且，则的反函数当自变量取4时的导数值为（ ）. 答: .36. 已知是的反函数，试用表示. 答: .六、高阶导数37. 设，求.答: .38. 设，求. 答: .39. 设，求.答:
6、 .40. 函数在处的阶导数. 答: .41. 设，求. 答: .42. 设，求. 答: .43. 设，求. 答: .44. 设，求. 答: .45. 求函数在处的阶导数. 答: .46. 设，求. 答: .47. 设，则使存在的最高阶数为（ ）（A）0；（B）1；（C）2；（D）3. 答: .七、导数的几何与物理意义48. （001）设函数为周期为5的连续函数，在处可导，且有关系式，其中，求曲线在点处的切线方程. 答: .49. 试证星形线上任一点处的切线在轴与轴之间的线段为定长. 提示: 曲线上点处的切线与轴和轴的交点坐标为: .50. （092）曲线在点处的切线方程为答: .51. （081）曲线在点处的切线方程为答: .52. （102）曲线与曲线相切，则（A）；（B）；（C）；（D）. 答: .53. 证明曲线上任一点与该点的切线和轴交点的距离恒为常数. 提示: 时曲线上点处的切线与轴的交点坐标为: .54. （971）对数螺线在点处的切线的直角坐标方程为 . 答: .55. 有一底半径为R厘米，高为厘米的圆锥形容器，以每秒A立方厘米的速度往容器中倒水，试求容器内水位等于锥高一半时，水面的上升速度. 答:.- 11 -
