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1、 阿波罗尼斯圆定理及其应用 江苏省郑梁梅高级中学 严海艳教学目标（1） 知识与技能目标：了解阿波罗尼斯圆的定理，并会利用定义解决与之相关轨迹及最值问题；（2） 过程与方法目标： 努力创设轻松、愉快的课堂环境，使学生处于积极思考，大胆猜想的氛围中，让学生经历知识的构建过程，体会从特殊到一般的数学思想。（3） 情感态度价值观目标： 通过本节课的教学，让学生体会从特殊到一般的知识构建的思想方法，由课本探究，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生勇于探究、创新的科学精神。教材分析对于阿波罗尼斯圆，课本仅在习题中以拓展的形式给出，基于近几年阿波罗尼斯圆在高考试题中的活跃性，根据课本题的延伸拓展
2、，安排此微专题让学生对阿波罗尼斯圆有一个系统的了解，能根据条件PA/PB=想到轨迹是圆，把握解题方向，解决问题。重点难点教学重点、难点：利用阿波罗尼斯圆的定义解决轨迹及最值问题；教学过程4.1 第一学时4.1.1 教学活动活动一 教材入手，奠定基础问题1 （必修2 习题2.2（1）探究拓展第12题）已知点M（x,y）与两点O（0,0），A （3,0） 的距离之比为，那么点M的坐标应满足什么关系？生1：M点的坐标满足的关系是（x+1)2+y2=4，它是一个以（-1,0）为圆心，2为半径的圆。问题2（选修2-1.2.6.2求曲线的方程例2）求平面内到两定点A，B的距离之比为2的动点 M的轨迹方程。
3、 （求轨迹方程是已学内容，此问题留时间让学生自主完成）生2：（展示过程并解说）设AB=2a，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平 面直角坐标系。则A（-a,0）B（a,0）设M（x,y） 由MA/AB=2得MA2=4MB2 即（x+a）2+y2=4（x-a）2+4y2 化简整理得（x-5a/3）2+y2=16a2/9 它是一个以（5a/3,0）为圆心，4a/3为半径的圆。师追问：此处涉及求轨迹方程的方法，简要概述一下。生2：建系设点列式化简检验师：通过对问题1和问题2观察比较，我们有什么发现？活动二 学生活动 ，提出猜想（学生讨论，得出结论）生3：问题1比值为1/2，小于1，轨迹
4、是圆；问题2比值为2，大于1，轨迹也是圆，所以 猜测：设A，B是平面内的两个定点，平面内的动点M到点A的距离与到点B的距 离之比为，（0）动点M的轨迹是圆。生4：说的不准确，当比值为1时，动点到两定点距离之比相等，此时点的轨迹是线段的垂 直平分线。师：说的非常好。那么可以证明此猜想吗？活动三 学生活动，验证猜想 生5：（展示过程并解说）设AB=2a，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立 平面直角坐标系。则A（-a,0）B（a,0）设M（x,y） 由MA/AB=得MA2=2MB2 即（x+a）2+y2=2（x-a）2+2y2 化简整理得 （1-2）x2+（2a+2a2）x+（1-2）
5、y2+（1-2）a2=0 =1时 4ax=0，x=0 此时为y轴即线段AB的垂直平分线 1时 整理得（x+a（1+）2/1-2）2+y2=a2（2/1-2）2 它是一个以（-a（1+）2/1-2,0）为圆心，a|（2/1-2）|为半径的圆。师：非常好。我们一起来完善一下这个内容活动四 师生合作，完善定理完善定理：在平面上给定两点A、B，设点P在同一平面上，且满足PA/PB=，当0且1时，点P的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”（当=1时，点P的轨迹是线段AB的垂直平分线）。师：其实这个结论早在公元前200年，古希腊著名的数学家阿波罗尼斯就已经发现了，故而我们就以他的名字来命名这个
6、圆，并把这个结论称为阿波罗尼斯圆定理。（此处可以展示一下人物背景，增强学生学习的兴趣）师：我们再来回顾一下定理，挖掘一下定理当中几个要素。生：两个定点，一个定值，推出一个圆。且圆心与两个定点在一条直线上。师：很好。定理当中体现三个要素，如果我们把三个要素进行重新组合，可以得出好几个命题，由于时间关系，我们不再展开。这节课主要是和大家一起来研究定理的应用问题。下面请大家完成例1。活动五 学生活动，完成例题及变式例1、（13年江苏，17题）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A(0,3)，直线l：y=2x-4。设圆C的半径为1，圆心在l上。若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范
7、围。 x l A y O师：请小组来展示一下。生6：主意到条件MA=2MO，看到M点的轨迹是阿氏圆，又点M在圆C上，所以 解题方向就明确了。下面是解题过程。因为圆心在直线y=2x-4上，所以圆C的方程为（x-a）2+y-2（a-2）2=1。设点M（x,y），因为MA=2MO，所以x2+（y-3）2=2x2+y， 化简得x2+y2+2y-3=0 ，即x2+（y+1）2=4， 所以点M在以D（0，-1）为圆心，2为半径的圆上。 由题意点M（x,y）在圆C上，所以圆C与圆D有公共点， 则2-1CD2+1，即1a2+（2a-3）3。由5a2-12a+80，得aR。 由5a2-12a0，得0a12/5。
8、所以点的横坐标的取值范围为0，12/5。师：非常好。对解题的方向把握的很精确。请同学们再看一下例2例2、(08江苏)若AB=2，AC=2BC，则三角形ABC的面积的最大值是_。师：请小组展示一下。生7：我们组有两种不同的方法，一种是利用解三角形知识，一种是观察到条件AC=2BC， 所以想到利用阿波罗尼斯圆定理。 解三角形知识： 设BC=x，则AC=2x， 由余弦定理得cosB=（4+x2-2x2）/22x=（4-x2）/4x， SABC=1/22x1-cos2B=128-（x2-12）2/4 由三角形三边关系，有2x+x2及x+22解得22-2x0） 则腰AC中点D（m/2，n/2） 由BD=
9、3，得9m2/4+n2/4=3。 由基本不等式得9m2/4+n2/42（9m2/4）（n2/4） =3mn /2 从而mn2当且仅当3m/2=n/2时取等号。 所以SABC=1/2ABh=mn2。师：非常好。两种方法都很简洁的解决了三角形面积的最值问题，两种方法都采用了建系的方法，所以我们要注意解三角形中解析法的应用。生9：我们组还有方法，是通过构造重心来解决的： A 记等腰三角形ABC的底边BC的中线AO与腰AC的 中线BD相交点G，则G为重心，得CG=BG=23/3。 D 由三角形BCG的面积S1=1/2BGCGsinBGC G =2/3sinBGC。 得三角形ABC的面积S=3S1=2s
10、inBGC2 B O C （SABC）max=2。 师：非常的好，构造重心，利用重心得比例关系来求得面积，并结合三角函数的有界性求 得最值。那么，这题可以用解三角形知识解决吗？生：可以，只是相对这些方法比较繁。师：是的，所以有关于这类问题我们一般不用解三角形方法解决。这节课大家不但能活用今天所学新知识-阿波罗尼斯圆定理解决多个问题，又能不拘泥于一种想法，做到一题多解，非常好。师：为了巩固本节课所学内容，请大家课后完成下面两个题目。 活动六 课后巩固1、已知点P是圆O：x2+y2=25上任意一点，平面上有两个定点M（10，0），N（13/2,3） 则PN+1/2PM的最小值为_。2、一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏 东 30方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击。已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍。假设缉私艇和走私船均按直线方向
