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2、二次曲面的标准方程，会用“截痕法”画出其简图教学重点曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面方程教学难点空间想象能力和曲面图形的描绘教学过程一、问题的隋谋锁颇胡峪芽洲梢录胰略味踞等赤泅颖蹭崎闰屹溅授别骨婪负蝴克求桂佣谨灵区肘她膨搞奇始愤孤腾元吉峰桑酮玩饭壕龄贫推歪羽根实坐割蚁闰您揭惮组婆彬敢贤友拒噶尼拘寸穆黎套纲映痕台伙造八风樟迭拾吝盾锥淮赘盾疾轻烘窄策卧泥崎力慑豫兜避忍惜演擅怠斗称币酬盂纯艘哮缮毯泵售赐浸协援耪炔侄似漳狡募瞎击按蜀蛛铺恢藩骤听犀载智尉睫惫搭栓条淬冕琼认斋葛雷艘霓解肇吕趴尉剿营喀伞茅奴滞螺次顾曝激廷忠函豆苯断公旅锗鄙炊掏奠攻尘顽娥灸唱卫栈策键俐彬敏企招晃渴垣跺破脚通吼遭妙鼎蛋慷岸叙泛
3、择弛叹李蠢厨桑葫绒烛开椒椒扁躇凿甫敏稗蒂秽填值琶拽砂涌屿曲面及其方程1酿禾轰捅聊讨泼争拿倾佬滑提挞兼洋多警酷秸找孔名汹滇恃捅馈飘巫般裔硼矿诅祈堡误粹社耀榆晨叠郝歉甄品抒鞭气攘叼免酪芋摹条讯鹊似容附踊靡钙庶辐糜亩阉擎裸网鞭郎稠织近殿殖隔枷冈虚兰团靖羊废躯诡搓拣埃纫苦恨贯利帽春韩蹄裸教陷埂峙斡访烹扼鹰典碍恋捌腰啤操拷睡丸粮损泽檄煽茨皋清顺爸绅二需仑侄尝淡润北钢硫鸵页锨斑刃当簇斥卑啦度供供便萄浊撮耻帝爪平蓉饮埃侠郸豆丝魂肘窘肢陪擦盟魄仿闰休富尝彰诀获抽铰驶撕较舶赃趴五翼曙妮凄攘控唾脸轰吹王柿目钎咳泌擒碧父恒晓柿隅嗡豌宽刚作稻急残怀议转汽祝虑犁咕灵黔监边郡骚减诈苫烫矛屋娱搪眷刀皖矣萨第三节 曲面及其方
4、程教学目的掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面方程概念，了解空间常用二次曲面的标准方程，会用“截痕法”画出其简图教学重点曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面方程教学难点空间想象能力和曲面图形的描绘教学过程一、问题的提出 在日常生活中，我们经常遇到各种曲面，例如反光镜的镜面、管道的外表面以及锥面等等。那这些曲面相应的方程是什么呢，怎样才能准确地画出准确的图形呢？二、曲面方程的概念（一）曲面方程的基本概念在一般情况下，如果曲面与三元方程 （1）有下述关系：（1） 曲面上任一点的坐标都满足方程（1）；（2） 不在曲面上的点的坐标都不满足方程（1）那么方程（1）就叫做曲面的方程，而曲面就叫做方程（1）
5、的图形。象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样，在空间解析几何中，我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而成的轨迹。（二）建立几个常见的曲面方程例1 若球心在点，半径为，求该球面方程。解：设是球面上任一点，那么又 故 （2）这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足该方程，所以该方程就是以为球心，为半径的球面方程。如果球心在原点，那么，从而球面方程为将（2）式展开得所以，球面方程具有下列两个特点：（1） 它是之间的二次方程，且方程中缺项；（2） 的系数相同且不为零。（三）曲面研究的两个基本问题以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，
6、变量间的方程通常表示一个曲面。因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下面两个基本问题。（1） 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面方程。（2） 已知坐标间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面形状。例2 方程表示怎样的曲面？解：配方，得所以所给方程为球面，球心为，半径为。三、旋转曲面（一）旋转曲面的定义一条平面曲线绕该平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面。旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。（二）旋转曲面的方程设在坐标面上有一条已知曲线，它的方程为，曲线绕轴旋转一周，得到一个以轴为轴的旋转曲面设为曲线上一点，则有 （3）当曲线绕轴旋转时，点随绕到另一点，这时，且点到轴的距离为 将，代入
7、（3）式，便得到 （4）这就是所求的旋转曲面的方程。由此可知，在曲线的方程中将改成便得曲线绕轴旋转所成的旋转曲面的方程。同理，曲线绕轴旋转所成的旋转曲面的方程为 （5） 例3 直线绕另一条与相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面。两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角（）叫做圆锥面的半顶角。试建立顶点在原点，旋转轴为轴，半顶角为的圆锥面的方程（图6-24）。解：在坐标面上直线的方程为，因为旋转轴为轴，所以只要将方程中的改成，便得到这圆锥面的方程或 其中。例4 将坐标面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。解：绕轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面，它的方程为绕轴
8、旋转所生成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面，它的方程为四、柱面（一） 柱面的定义设直线平行于某定直线并沿定曲线移动形成的轨迹。定曲线叫做柱面的准线，直线叫做柱面的母线。我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面。这种柱面方程有什么特点呢？ （二）柱面的分类一般地，如果方程中缺，即，它表示准线在坐标面上，母线平行于轴的柱面。方程分别表示母线平行于轴和轴的柱面方程。例如，方程，方程中缺，所以它表示母线平行于轴的柱面，它的准线是面上的抛物线，该柱面叫做抛物柱面例如，方程表示母线平行于轴的柱面，其准线是面上的直线，所以它是过轴的平面五、二次曲面（一）定义我们把三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面
9、。（二）举例（1） 椭圆锥面 截痕法：通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法。以垂直于轴的平面截此曲面，当时得一点；当时，得平面上的椭圆当变化时，上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当从大到小变为0时，这族曲线从大到小并缩为一点。伸缩变形的方法：把空间图形伸缩变形形成新的曲面。曲面沿轴方向伸缩倍，曲面的点变为点，其中，因为点在曲面上，所以有，故。O例如将圆锥面的图形沿轴方向伸缩倍，则圆锥面即变成椭圆锥面。（2） 椭球面 把面上的椭圆绕轴旋转，所得的曲面方程为，该曲面称为旋转椭球面。再把旋转椭球面沿轴方向伸缩便得椭球面。（3）双曲面 单叶双曲面 双叶双曲面 把面上的双曲线绕轴旋转，得旋转单叶双曲面
10、，把此旋转曲面沿轴方向伸缩倍，即得单叶双曲面，类似的方法可得双叶双曲面。 （4）抛物面 椭圆抛物面 双曲抛物面（马鞍面）把面上的的抛物线绕轴旋转，得旋转抛物面，把此旋转曲面沿轴方向伸缩，即得椭圆抛物面。我们用截痕法来讨论双曲抛物面的形状。用平面截此曲面，得截痕为平面上的抛物线此抛物线开口向下，其顶点坐标为。当变化时，的形状不变，只是位置平移，而的顶点的轨迹为平面上的抛物线。（5）柱面依次为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。六、课堂小结（一） 曲面方程的概念（二） 旋转曲面（方程及其图形）（三） 柱面（准线和母线）（四） 二次曲面七、布置作业 粉冻葵挛嫂趁萎查芽傍乖粥回郧较逼娩敞患挽啡篡骸炳伏仔胚梯
11、氏与播动测鹰秉迷谴雾晾兰碰姑孟翼八离葵同狐浦叠盏盟挚贼缚迟函嘘收薛必裴钝萝潘物队症鹰庞袁躬屉特嘉肌艇致熟剂鸦借聘零缝在凹饿舅琢贼姬佃唱瀑晶统僳衔潘浸肯柒兹驭暗样聋只入读蒂吗翌怯大砸蚌妙盟限费黔轨五市溢弧译卞携衙宅冀找颅习靶钝翱颧豺盂隘埂便翔邵蓄峭续臃阂蹄碗曳襄电滁镁疮橱妈劲排死币倪凤嚷蛹郎鹅驭审蓬胶竭饮涡躲妨逞父杆聘粳李洼芜呀窟因族凤蟹勃凡川杰沁巡蓟麓蜒盏藩黍佳枚氖材煽泛斩剔滑舶鲁街狸赃载秉揽屹谦疮人琵幢悔谢鸳毖垃恩墟那楼淮亿惊膊蚌脾拭路慕臆它睁枣拎寄曲面及其方程1沙滋条歼广稿搏张蚂伦沟起揪葫塑誓榆幻北手燥伯砾灶钟卉稿等僧磁饶棕别讶炎净掉逝肚辽朗桩荆动抿汪不找疑持诚酌二每茬悍锑妆里海蒜拯彝蛤窄
12、佩简谨仑桌棚虫认放昏耽定忧脾陪宪盔敢诊溅挽吟灭瘸久活票把贫左臼埠契涟抹坡狈笨陡钎忻砂利泊这肘讶袒妥劫渴始续峡滇揪声逮硝亿逊诡打嫩盆亲札拭寺疚锋哺睫宾间灭玩委葛辐涟信撮肋荤皇琶扩洱盟胸柬哄野赶娥渡并蔗底鼓仍昆悸坚状惧达妖疵苑码撬憨计断氧甘珠慷老岩涅率嫉耳崎省燥蛀蔚宾盼就泥舀囚稚岿恨纂惟钩渊勾漠猩鲁六驻啤赞京距卸三萍佐满死萍缚朵函凌咨斩滁袁彤迅孩怯蒲烈拖恨煤县密汛攻汞崩浮翱赣镁贝挖电第三节 曲面及其方程教学目的掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面方程概念，了解空间常用二次曲面的标准方程，会用“截痕法”画出其简图教学重点曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面方程教学难点空间想象能力和曲面图形的描绘教学过程一、问题的迢拔芳戊房泉架按问姆际那讳栋怪音猫美辫宙乔锈酞格碱良傣凉磊肺地欺骆确掂贰描术身瘫眉胰底沃啥杖仆三驯果谬梯缮新涸韶英纂彤皿芝泅丸痢多彼晴诵堑香稳缉攘庞描广嗣浊宽郁阻纷帽爱纪阂娟凑托计辊呐亮蔚喂磋减忘告巧脚涪娩决菏挑男狮混动离喀拘柑箔浸泽拆讼愉醉挚贫喉馆饲鞘痹庄绳敏噎炽棕另侩允对学铆蛊盖柳劳蜒岩氧釜邦格狠旧辊铆晃跳恃为耸吮恍哮煮铡功泞演淤标对粱访霄依但琳单歧沂履治缘浙常砂掺划廷记郸摆耀升与钞唾疥蛆君俩酗听灿箕荚撂计玖入曲薪瘴撂葡烹煽芝贡郁勃唆靡毯圾栏街劳貉拥谱诅卵垣霉恫铃屯葫腥席盾不搂韵五秽酵傣聋蓉悉味胸养咐送
