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1、毕业设计（论文） 题 目：对称性在简化积分运算中的应用学生姓名：学 号：所在学院：金融与数学学院专业班级：应数1001班届 别：指导教师：目 录前言11.对称性在定积分中的应用21.1相关定理及其应用22.对称性在重积分计算中的应用32.1对称性在二重积分中的应用32.2对称性在三重积分计算中的应用43.对称性在曲线积分计算中的应用53.1对称性在第一类曲线积分中的应用53.2 对称性在第二类曲线积分计算中的应用64.对称性在曲面积分计算中的应用94.1对称性在第一类曲面积分计算中的应用94.2 对称性在第二类曲面积分运算中的应用105.化积分区域为对称区域的几种方法11结束语12参考文献:1
2、2皖西学院2014届本科毕业设计（论文）对称性在简化积分运算中的应用摘 要：在计算积分中，恰当的使用轮换对成性和对称性，以及奇偶性都可以简化计算。本文主要结合实例阐述对称性在化简几类积分计算中的妙用。具体总结平移变换和区域划分方法来构造对称性。关键字：对称性；奇偶性；定积分；曲线积分；曲面积分Symmetry In The Integral CalculationAbstract ：In calculating of the calculus , proper use translatable symmetry、symmetry and parity can simplify the calc
3、ulation . This paper mainly use example to elaborated symmetry in the simplify the calcalation .Specific summarize parallel moving transformation and divide the area to construct symmetry.Keywords:Symmetry; parity; definite integral;curve points; surface integrals前言微积分是高等数学中的难点和重点。在很多复杂的微积分证明和计算过程中，
4、尤其是涉及多元微积分问题,常规的方法很难解决，恰当的利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，可以大大简化积分计算。积分计算中,有很多积分区域存在对称性的问题.合理、恰当的利用其所具有的对称性的性质，则可以使其计算过程得到简化,甚至有些问题直接可以判断出其结果.当积分形式不具有对称性时，有时可以通过变换积分的区域形成对称。本文具体总结平移变换和区域划分等方法来构造对称性，从而达到简化积分计算的效果。本文主要结合实例阐述对称性在简化定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分计算中的妙用。1.对称性在定积分中的应用1.1相关定理及其应用 定理1.1【1】设在区间可积：（1） 若为奇函数，则；（2
5、） 若为偶函数，则例1.1：计算积分其中为偶函数，则令，则在定积分的计算中，当积分区间为任意有限区间时，该积分区间一定关于直线对称，由此我们可得以下出定理。 定理1.24 设f(x)在a,b上连续，则例1.2 计算定积分解： 令，则由定理1.2知以上是对称性在定积分计算中的应用，可以得出对称性可以大大的简化定积分的运算。2.对称性在重积分计算中的应用2.1对称性在二重积分中的应用相关定理及应用定理2.1.135 若D关于x轴对称，D1位于x轴上半部分，当函数是关于y的奇函数，即时，；当函数是关于y的偶函数，即时，定理2.1.25 若D关于y轴对称，D2位于y轴右半部份，当函数f(x,y)是关于
6、x的奇函数，即时：；当函数f(x,y)是关于x的偶函数，即时：。定理2.1.36 若区域D为关于原点对称，其中D3为D中关于原点对称的右侧。 当为奇函数即时，有 当为偶函数即时，有 推论1 设D是有界平面区域，函数在平面内连续，且D关于x轴、y轴对称，则 （1）若函数关于变量x、y都是偶函数，则， （2）若函数关于其中一个变量x或者变量y为奇函数，则为方便叙述，以下为轮换对称性的定理和定义：定理2.1.57 设函数在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于x,y存在轮换对称性，则定义2.1.47 设D为一有界可度量平面区域（或光滑平面曲线段），若，则称区域D（或光滑平面曲线段）关于x,y具有轮
7、换对称性。例2.1.2 设区域D由x=0,y=0,x+y=1围城，求解 由题意得，变量x,y互换，积分区域区域D不变则所以2.2对称性在三重积分计算中的应用 三重积分应用对称性定理如下：定理2.2.18 设函数是定义在空间有界闭区间区域上的连续函数，且关于坐标平面对称，则 （1） 若是关于变量的奇函数，则；（2） 若是关于变量的偶函数，则。其中是的前半部分，同理可写出关于坐标平面对称时的情形相似于二重积分，得出结论定理2.2.2 设函数为定义在空间有界区域的连续函数，且关于原点对称，则（1） 若，则（2） 若，则 ，类似于二重积分，为方便叙述，三重积分轮换对称性的定理与定义如下：定理2.2.2
8、7 设函数f（x,y,z)是定义在空间有界区域上的连续函数，且关于变量x,y,z具有轮换对称性，则定义2.2.17 设是一个有界可度量的集合体（可为空间区域、空间曲线或曲面块），且它的边界光滑，若，则称关于变量具有轮换对称性。例2.2.2计算三重积分，解：有题意知，关于为奇函数，由上述定理知3.对称性在曲线积分计算中的应用3.1对称性在第一类曲线积分中的应用平面上第一类曲线积分的对称性定理：定理3.1.110 设平滑分段光滑曲线关于轴（或轴）对称，且在上有定义、可积，则（1） 若为关于（或）的奇函数，则；（2） 若为关于（或）的偶函数，则， 例3.1.1 设L是圆周，求解12 解：，因为关于轴
9、、轴对称，且关于变量和是偶函数，由上述推论可得 为位于第一象限的部分。又因为故当曲线关于原点对称时，相关定理如下：定理3.1.211 设平面分段光滑曲线关于原点对称，且在L上有定义、可积，则（1） 若是的上半平面或右半平面部分。曲线的轮换对称性定理如下:定理3.1.3 设平面分段光滑曲线关于存在轮换对称性，在上有定义且可积，则3.2 对称性在第二类曲线积分计算中的应用由第二类曲线积分的物理背景为变力做功可知，它与曲线的方向相关，与上述积分对称性的几种结论不同，与第二类曲线积分相关结论如下。定理3.2.112 设为平面上分段光滑的定向曲线，为定义在上的连续函数；（1） 当关于轴对称时： 若是关于
10、的偶函数，则； 若是关于的奇函数，则 若是关于的偶函数，则； 若是关于的奇函数，则 （2） 当关于轴对称时： 若是关于的偶函数，则； 若是关于的奇函数，则 若是关于的偶函数，则； 若是关于的奇函数，则 。（3）当关于原点对称时： 若，关于为偶函数，则 若，关于为奇函数，则，是的上半或右半平面部分。（1） （3）证明如下，（2）证明方法类似于（1），此处不做重复。证明 （1）若关于轴对称，设，且令,则若为的偶函数，则若为的奇函数，则L1为L在x轴上方部分。若Q(x,y)为y的奇函数，则若Q(x,y)为y的偶函数，则L1为L在x轴上方部分。（3） 若关于原点对称时，令,分别为关于原点对称的两部分之
11、一，则， 令的参数方程为，则的参数方程为，；则如果P(x,y),Q(x,y)关于（x,y)是偶函数，则，得到；如果P(x,y),Q(x,y)关于（x,y)是奇函数，则，得到。L1是L的右半或上半平面部分。综上所述，定理得证。例 3.2.1 求解第二类曲线积分，L是椭圆沿顺时针方向。解 因为于原点对称，已知，都是的偶函数，由上述定理知相应轮换对称性定理如下定理3.2.212 设是平面上分段光滑的定向曲线，是定义在上的连续函数。若曲线关于具有轮换对称性，则例 3.2.2 求解第二类曲线积分，沿逆时针方向。解 ，已知关于轴对称,关于为偶函数由上述定理易知，有题意知关于存在轮换对称性，由上述定理已知，
12、则4.对称性在曲面积分计算中的应用4.1对称性在第一类曲面积分中的应用在第一类曲面积分中，与上述类似，可以利用积分区域的对称性（关于坐标面对称、原点对称、轮换对称）以及被积函数奇偶性，简化计算第一类曲面积分，相关定理如下。定理4.1.113 设分块光滑曲面关于坐标面对称，且在上有定义、可积，则(1) 若是关于的奇函数，则，(2) 若是关于的偶函数， 则 其中同理得出曲面关于坐标面对称的相应结论。例4.1.1 求解第一类曲面积分，是球面上部分解 因为曲面关于坐标面对称，且是关于的奇函数，由上定理知因为曲面关于坐标面对称，且是关于的奇函数，由上定理知又因为，则第一类曲面积分轮换对称性的定理如下定理
13、4.1.212 设分片光滑曲面关于存在轮换对称性，并且在上有定义且可积，即例4.1.2 求第一类曲面积分，为。解 由题意知 关于有轮换对称性，则 则4.2 对称性在第二类曲面积分运算中的应用第二类曲面积分类似于第二类曲线积分，根据其定义及物理背景，推导出对称性在第二类曲面积分中的结论。定理4.2.114 设积分曲面光滑或分段光滑，且，曲面和的法线方向相反，若曲面、关于平面对称，则（1） 若，则；（2） 若,则，为的的部分。轮换对称性定理在第二类曲面积分中如下：定理4.2.213 设积分曲面光滑或分段光滑，函数在曲面上有定义和可积，若积分曲面关于有轮换对称性，则小结：通过上述相关定理、定义的陈述
14、和证明，我们可以把与积分相关的对称性统一成一个形式。现将被积函数用表示，积分区域记为，在区域上在的积分记为，相关定理如下。定理15 设是定义为上的连续函数，且具有某种对称性，记的对称点为，则（1） 若；（2） 若；为的一半。（3） 。（注：上述定理在第二类曲线积分、第二类曲面积分领域中无效）5.化积分区域为对称区域的几种方法以下是当积分区域不具有对称性时，可以用下面方法转化为具有对称性的区域。方法一 重新划分区域，构造对称性当积分区域不对称时，可以将积分局域重新进行分割划分，使得每个小区域都具有对称性，从而在划分的每个小区域使用上述的方法进行运算求和。例5.1 计算，其中D是由y=2x,y=-2,x=1围城的平面区域。解： 为使用对称性简化计算，对整个区域D重新划分为和,是上方的部分，是直线下方的部分，易知关于轴对称，关于轴对称，关于和为奇函数。则方法二 平移变换构造对称性当积分区域关于某条坐标轴平行时，可以通过平
