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1、平面不规则图形面积求解策略浙江省金华市第四中学 童桂恒 分析近几年中考的试题，我们可以看到：在中考客观性试题中常有一类平面不规则图形的面积问题，对这类试题由于图形的不规则使学生在求解时往往感到茫然，不知所措；然而这类试题又有较好的选拔功能，能体现对数学思想方法、思维能力素质的考查，符合“少考计算，多考思维”的中考改革思路，所以，它常常得到各地中考命题专家的青睐。本文将结合实例谈谈平面不规则图形面积求解的若干策略。 一、割补法 割补法是求解平面不规则图形面积问题最常用的方法之一，它包含三个方面的内容：一是分割原有图形成规则图形；二是粘补原有图形为规则图形；三是分割粘补兼而有之。 例1 如图1-1
2、，ABCD是边长为8的一个正方形，、 都是半径为4的圆弧,且、 分别与AB、AD、BC、DC相切，则阴影部分的面积= .（05年内蒙古呼和浩特市中考题）略解，连结EG、FH相交于点O，则扇形OEH、BEF、OGF、DGH全等，都是半径为4的圆，把扇形OEH割下，粘补到扇形BEF上，再把扇形OGF割下，粘补到扇形DGH上(如图12所示)，因此有= + =244=32.O 图1-1图1-2图2-1图2-2例2 当汽车在雨中行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。如图2-1是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷器CD在B处固定连接(不能转动),当杆AB绕A点转动90时，雨
3、刷CD扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况量得CD=80cm，DBA=20，端点C、D与点A的距离分别是115cm、35cm，他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果，你知道小明是怎样计算的吗？也请你算一算雨刷CD扫过的面积 .cm2 (取3.14) （04年山东济南市中考题）略解，由于CD和AB在点B处固定连接（不能转动），所以在整个运动过程中，就有AC=AC=115cm，AD=AD=35cm，CD=CD=80cm，因此ACDACD，把ACD割下，粘补到ACD的位置（见图2-2），则雨刷CD扫过的面积，就等于以A为圆心，AC、AD为半径的两个 圆的面积差.即 (AC2A
4、D2)= 3.14（1152352）=9420cm2.注：在应用割补法求解问题时，往往要综合应用“分割”与“粘补”两种技能策略，对思维的灵活性和严密性有着较高的要求。 二、旋转法 把图形绕着某点旋转，使静止时分散的条件相对集中，实现化一般图形为特殊图形，从而轻松求解。 例3 如图3-1，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（ ）（05年福州市实验区中考试题）A、 B、 C、 D、略解：由题设条件易证BOEDOF，把DOF绕点O旋转180，则DOF与BOE重合(如图32所示).= . 故选（B） 图3-1图3-2图4-1图4-2 三
5、、对称法 利用已知图形的轴对称性，把所给图形沿某条对称轴所在直线翻折，使分散在对称轴所在直线两侧的图形整合到另一个图形之中，使解题获得突破。例4 如图4-1，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是 .（05年河南省实验区中考试题）略解：由题设可知，两个半圆和两支抛物线均关于y轴成轴对称，所以，把y轴右侧的图形沿y轴翻折(如图4-2)后知：=12=.四、平移法 平移不改变图形的形状和大小，但通过平移可以使图形的位置发生变化，利用特殊位置关系时的图形状况，常常可以寻找到问题解决的突破口。 例5 如图5-
6、1，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面为 . （03年上海市中考试题） 略解：面积为2的小正方形的位置不确定是带来阴影部分面积求解困难的原因所在，因此，考虑把小正方形竖直向下平移至与长方形底边重合，此时，两块分散的小长方形阴影部分转化为一块较大的长方形阴影部分(如图52所示)，其长、宽易求得为和（），所以=.O 图5-1图52 图61 图62注：图形的旋转，对称和平移都是常用的图形变换方法，利用这些图形变换方法可以把处于一般位置关系的图形转化为处于特殊位置关系的图形，使不规则的复合图形转化为规则的图形。 五、整体法 整体思维是解题策略中的一种重要思维方法，整体法体现在
7、解题过程中，就是将要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作种种整体处理后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的。例6 如图6-1所示的曲边三角形可按下述方法作出：分别以正三角形的一个顶点为圆心，边长为半径，画弧所围成的图形就是一个曲边三角形。如果一个曲边三角形的周长为，那么它的面积为. . （03年山东省中考题） 略解，由题设条件，曲边三角形的三条“边”是等弧，均为60，我们把这三段弧依次放到一个圆上，它刚好为半个圆周（如图62所示），圆的半径就是题中正三角形的边长.由 2R= , 知R=1，即题中的正三角形边长为1.=2= 2= . 六、等积法 等积转化是解决面积问题中十分
8、常用的一种解题策略，对三角形（或平行四边形）来说，“等底等高面积相等”是经常运用的一条重要性质，通过等积转换，把平面不规则图形转化为三角形或平行四边形等，往往能使问题迅速解决。 例7 如图7-1，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PEBC交AB于E，PFCD交AD于F，则阴影部分的面积是 .（04年贵州省贵阳市实验区中考题） 略解：由于点P是AC上任一点，所以随着点P的运动，EPF和四边形BCPE的面积也不断变化。 又EPBC，BCAD，EPAD，=.(如图72所示) =25=. 图7-1图7-2图8 七、方程法 所谓方程法就是从对问题中数量关系的分析入手，运用数学语言将数量关系转化为方程（或方程组），使问题获解的思维方法。 例8 如图8，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3cm ，AB=8cm 则图中阴影部分面积为 cm2 . （05年山西省中考题） 略解：由图形的折叠性质知：AD=AF，DE=EFDC=AB=8cm，CE=3cm，DE=EF=5cm.根据勾股定理，得FC=4cm，若设AD=cm，则AF=cm，BF=（4）cm.因此有：82+（4）2 =2 ， 解得=10 . 4=6.=+=ABBF+FCCE=86+43=30cm2.1
