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1、第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度本课的基本要求 了解斯托克斯公式，了解旋度的概念，并会计算。本课的重点、难点斯托克斯公式为重点，其运用为难点教学内容作为格林公式的推广，高斯公式反映了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分 之间的关系。如果将格林公式在空间作另一方面的推广，即把平面曲线 L 推广到空间曲线 r,并把以l为边界的平面区域推广到以r为边界的有向曲面工，姨可得到如下的斯托克 斯公式。一斯托克斯公式定理1设r为分段光滑的有向闭曲线，工是以r为边界的分片光滑的有向曲面，r的正向 与工的侧符合右手规则(即当右手除拇指外的四指依r的绕行方向时，拇指所指的方向与工 上的法向量的指向相同
2、)。若函数P (x, y, z),Q (x, y, z),R (x, y, z)在包含工在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则Q)dydz)dzdx)dxdyPdx Qdy Rdz z z x x y公式叫做斯托克斯公式。证 先假定工与平行于z轴的直线相交不多于一点，并设工为曲面zf (x, y)的上侧，工的正向边界曲线r在xoy面上的投影为平面有向曲线C，C所围成的闭区域为D (如图)。xyPP我们设法把曲面积分 dzdx dxdy化为闭区域D上的二重积分，然后通过格林公 zyxy式使它与曲线积分相联系。根据对面积的和对坐标的曲面积分间的关系，有dzdxdxdyC-coszcos )ds
3、由第八章第六节知道，有向曲面工的法向量的方向余弦为cosV1xf2f2x y,cosv；1y , cos f2f2x y因此 cos f cos ，把它代入式得 ydzdxdxdyf )cos dsyf )dxdyy上式右端的曲面积分化为二重积分时，应把P(x, y,z)中的z用f(x, y)来代替。因为由复合函数的微分法，有-Px, y,yPP f(x, y) PP fyz y所以，式可写成P dzdxzPdxdyP x, y, f(x, y)BxdyoyyDxy根据格林公式上式右端的二重积分可化为沿闭区域D灭丫的边界C的曲线积分:DxyP x, y, f (x, y)dxdy : P x,
4、 y, f (x, y)Bx yC于是PPdzdxdxdyP x, y, f (x, y)dxzyC因为函数P x, y, f (x, y)在曲线C上点(x, y)处的值与函数p (x, y, z)在曲线r上对应点(x,y,z)处的值是一样的，并且两曲线上的对应小弧段在x轴上的投影也一样，根据曲线积分的定义，上式右端的曲线积分等于曲线r上的曲线积分P(x,y,z)dx。因此，我们证得dzdxdxdy- P (x, y, z)dx如果工取下侧，r也相应地改成相反的方向，那么式两端同时改变符号，因此式仍成立。 其次，如果曲面与平行于z轴的直线的交点多于一个，则可作辅助曲线把曲面分成几部分, 然后应
5、用公式并相加。因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲线积分相加时正好抵消，所以 对于这一类曲面公式也成立。同样可证Q dxdy Q dydz = Qdy， dydz dzdz。Rdzx zy x把它们与公式相加即得公式。证毕。为了便于记忆，利用行列式记号把斯托克斯公式写成dydz dzdx dxdy-Pdx Qdy RdzxyzPQRR反其中的行列式按第一行展开，并把一与R的“积”理解为，一与Q的“积”理解 yy zQ为等等，于是这个行列式就“等于”公式左端的被积表达式。z利用两类曲面积分间的联系，可得斯托克斯公式的另一形式：COS cosx yP Qcos一 ds a Pdx Qdy Rdz zR
6、其中n (cos ,cos ,cos )为有向曲面工在点(x,y,z)处的单位法向量。如果工是xoy面上的一块平面闭区域，斯托克斯公式就成格林公式。因此，格林公式是斯托 克斯公式的一个特殊情形。例1计算曲线积分- ydx zdy xdz,其中r为球面x2 y2 z2 R2与平面x z R所截平面的交线，其方向为逆时针。n,0,斗)。根据斯托克斯公式2dydzdzdxdxdyI - ydx zdy xdzdydz dzdxdxdy解法一 记平面x z R上由曲线r围成部分的上侧为工，则工的单位法向量为根据坐标转换公式，上式可化为coscosdxdy dxdycoscosdxdydxdy2 dxd
7、yDxyR22其中.是工在平面上的投影区域可表示为Dxy:(x存这是一个椭圆域，其面积解法二 根据斯托克斯公式 平面相交的圆弧AB,BC ,CA连接而成的闭曲线，正方向为逆时针。I - ydx zdyxdzds (二R2xdx ydy例2计算Izdzx2y2z2其中 L 是球面 S :x2y2z2a2在第一卦限与坐标1a20dydz 0dzdx 0dxdy 0解利用斯托克斯公式将该曲线积分化为球面在第一卦限部分正侧(即S)上的曲面积分。 由于曲线L在球面S ：X2 y2 Z2 a2上，于是xdx ydy zdza2L此题如按定义计算，也得积分值为0，但比用斯托克斯公式计算要复杂。 二空间曲线积
8、分与路径无关的条件在第三节中，利用格林公式推得了平面曲线积分与路径无关的条件。完全类似地，利用斯托 克斯公式，可推得空间曲线积分与路径无关的条件。首先我们指出，空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭曲线的曲线积分为零。定理2设空间区域G是一维单连通域，函数P (x, y, Z),Q (x, y, z),R (x, y,z)在G内具有一阶连续偏导数，则空间曲线积分 Pdx QdyP曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是一y立。Rdz在G内与路径无关(或沿G内任意闭Q QR RP，-，-在G内恒成x zy xz定理3设空间区域G是一维单连通域，函数P (x, y, z),Q (x, y, z),R (
9、x, y,z)在G内具有一阶连续偏导数，则表达式Pdx Qdy Rdz在G内成为某一函数u (x, y, z)的全微分的充分必要条件是等式在G内恒成立；当条件满足时，这函数(不计一常数之差)可用下式求出：u(x,y,z) (x,y,z) PdxQdyRdz其中 M (x,y,z)为 G 内某一定点，0 0 0 0(x0,y0,z0)M (x,y,z) G 。三环流量与旋度定义 设有向量场 A (x, y, z) P (x, y, z)i Q (x, y, z) j R (x, y, z)k，称向量为向量场A的旋度，记作rot A即RQPRQProt A ()1 ()j ()k。称沿有向闭曲线r的曲线积分yzzxxyPdx Qdy Rdz为向量场A沿有向闭曲线r的环流量。斯托克斯公式可叙述为：向量场a沿有向闭曲线r的环流量等于向量场的旋度场通过r所 张的曲面工的通量，这里r的正向与工的侧应符合右手规则。为了便于记忆，rotA可利用行列式记号形式地表示为9(1()2()1 T81 d :牀出 :赣/H 0 dz X x一VHOJ如r tz-oi点徐金昼毬立
