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1、四 由比例线段建立函数解析式专项本专题探究在图形的运动变化过程中，存在平行或相似的三角形，利用比例式来建立函数关系式. 难一些的题目其中的一个变量是比例式，一个变量是线段，也是利用相似或平行来构造比例式，从而写出函数的解析式. 作为最后的一道压轴题，一般情况下写出解析式后还会有一个证等腰或相似或相切的题目，可以二次函数专题中的解题思想进行处理.1 由平行得到比例式，从而建立函数关系式.例题：如图，在ABC中，AB=AC=4,BC=AB，点P是边AC上的一个点，AP=PD，APD=ABC，连结DC并延长交边AB的延长线于点E（1） 求证：AD/BC（2） 设AP=x，BE=y，求y关于x的函数解
2、析式，并写出它的定义域（3） 连结BP，当CDP与CBE相似时，试判断BP与DE的位置关系，并说明理由 2 由三角形相似得到比例式，建立函数关系式例题：如图，在正方形ABCD中，AB=2，E为线段CD上一点（点E与点C、D不重合），FG垂直平分AE，且交AE于F，交AB延长线于G，交BC于H.（1） 证明：ADEGFA（2） 设DE=x，BG=y，求y关于x的函数解析式及定义域（3） 当BH=时，求DE的长 3 在学习利用相似比建立函数的解析式的时候，初中阶段的知识已经学了不少，对最后的压轴题的综合性的要求已经很高了. 一般会在写解析式前有一些证明或计算，写好解析式后再来一个证明等腰三角形或圆
3、的位置关系等. 如果能够把一道复杂的压轴题拆分成几道小的题目，各个击破，难题也就变简单了.例题：如图，在RtABC中，C=90，sinB=，AC=4；D是BC的延长线上一个动点，EDA=B，AE/BC.(1) 找出图中的相似三角形，并加以证明(2) 设CD=x，AE=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(3) 当ADE为等腰三角形时，求AE的长 4 刚才研究的写函数解析式都是在几何图形中进行的，下面来看在平面直角坐标系中怎样写解析式.例题：如图，在直角坐标系中的等腰梯形AOCD中，AD/x轴，AO=CD=5，=，cos=，P是线段OC上的一个动点，APQ=,PQ交射线AD于点Q，设P
4、点坐标为（x，0），点Q到D的距离为y（1） 求过A、O、C 三点的抛物线解析式（2） 用含x的代数式表示AP的长（3） 求y与x的函数解析式及定义域（4） CPQ与AOP能否相似？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由5 当一个变量是比例式，另一个变量是一条线段，怎样来写函数的解析式呢？可以根据题目的要求，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，或相似三角形周长的比等于相似比等建立函数解析式.例题：如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B、C的坐标分别为（-1，0），C（0，b），且0b3，m是经过点B、C的直线，当点C在线段OC上移动时，过点A作ADm于点D.（1） 求点D、O
5、之间的距离（2） 如果=，试求：与b的函数关系式及的取值范围（3） 当ADO的余切值为2时，求直线m的解析式（4） 求此时ABD与BOC重叠部分的面积6 当我们学习到利用相似三角形的相似比来建立函数解析式的时候，初中阶段的知识已经学得差不多了，对于一些貌似很复杂的图形，只要能够分层求解，就能化繁为简.例题：如图，在边长为6的正方形ABCD的两侧如图作正方形BEFG、正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，连结MF交线段AD于点P，连结NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y.（1） 求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围（2） 当NPF的面积为32时，求x的值（
6、3） 以P为圆心，AP为半径的圆能够与以G为圆心，GF为半径的圆相切，若能请求x的值，若不能，请说明理由练习：1 如图，在三角形中，AB=AC=8，BC=10，点D、E分别在BC、AC上（点D不与B、C重合），且ADE=B，设BD=x，AE=y.（1） 求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（2） 点D在BC上的运动过程中，ADE是否有可能成为一个等腰三角形？如有可能，请求出当ADE为等腰三角形时x的值;如不可能，请说明理由.2 在ABC中，AB=4，AC=5，cosA=，点D是边AC上的点，点E是边AB上的点，且满足AED=A，DE的延长线交射线CB于点F，设AD=x，EF=y.（1）
7、 如图1，用含x的代数式表示线段AE的长（2） 如图1，求y关于x的函数解析式及函数的定义域（3） 连结EC，如图2，求档x为何值时，AEC与BEF相似. 3 如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）.连结DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y.（1） 求y关于x的函数关系式（2） 若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3） 若y=，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？4 已知在梯形ABCD中，AD/BA，ADBC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点.（1） 如图，P为BC上的一点
8、，且BP=2. 求证：BEPCPD；（2） 如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPF=C，PF交直线CD与点F，同时交直线AD于点M，那么 当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； 当SDMF=SBEP时，求BP的长. 5 如图，在四边形ABCD中，B=90，AD/BC，AB=4，BC=12，点E在边BA的延长线上，AE=2，点F在BC边上，EF与边AD相交于点G，DFEF，设AG=x，DF=y.（1） 求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2） 当AD=11时，求AG的长；（3） 如果半径为EG的E与半径为FD的F
9、相切，求这两个圆的半径. 6 如图，在半径为5的O中，点A、B在O上，AOB=90，点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y.(1) 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(2) 若O1与O相交于点A、C，且O1与O的圆心距为2，当BD=OB时，求O1的半径；(3) 是否存在点C，使得DCBDOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由.7 已知ABC=90，AB=2，BC=3，AD/BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足=(如图1所示)（1） 当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；（2） 在图1中，连结AP. 当AD=，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，=y，其中SAPQ表示APQ的面积，SPBC表示PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3） 当ADAB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求QPC的大小.（2009上海第25题）
