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1、人教版八年级下第10招特殊平行四边形的性质和判定综合应用的四种类型特殊平行四边形的性质主要从特殊平行四边形的性质主要从边、角及对角线边、角及对角线三个方面三个方面进行区分；而判定主要从在其他特殊四边形的基础上再附加进行区分；而判定主要从在其他特殊四边形的基础上再附加什么条件的角度进行什么条件的角度进行.应用特殊平行四边形的性质和判定解决应用特殊平行四边形的性质和判定解决的问题主要有的问题主要有折叠问题、操作型问题、探究型问题、阅读理折叠问题、操作型问题、探究型问题、阅读理解型问题解型问题等等.如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为6.菱形菱形EFGH的三个顶点的三个顶点E，G，H分别
2、在正方形分别在正方形ABCD的边的边AB，CD，DA上，且上，且AH2，连接连接CF.(1)当当DG2时，求证：菱形时，求证：菱形EFGH为正方为正方形；形；(2)设设DGx，试用含，试用含x的代数式表示的代数式表示FCG的面积的面积.特殊平行四边形的性质和判定的综合应用，就是从四特殊平行四边形的性质和判定的综合应用，就是从四边形边、角、对角线的特征进行判断和应用边形边、角、对角线的特征进行判断和应用.本题中本题中(1)由于由于四边形四边形EFGH为菱形，只需再证有一个内角是直角即可；为菱形，只需再证有一个内角是直角即可；(2)解题的关键是作辅助线：过点解题的关键是作辅助线：过点F作作FMDC
3、，交，交DC的延的延长线于点长线于点M，连接，连接GE，构造全等三角形，构造全等三角形.(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，DA90.四边形四边形EFGH是菱形，是菱形，HGEH.又又DGAH2，RtDGHRtAHE(HL).DHGAEH.AEHAHE90，DHGAHE90，则，则GHE90.菱形菱形EFGH为正方形为正方形.(2)解：过点解：过点F作作FMDC，交，交DC的延长线于点的延长线于点M，连接，连接GE，如图所示如图所示.四边形四边形ABCD是正方形，四边形是正方形，四边形EFGH是菱形，是菱形，CDAB，GFHE，HEFG.AEGMGE，HEGFGE.AEH
4、FGM.AHEMFG(AAS).MFAH2.DGx，DC6，CG6x.利用矩形的性质巧求折叠中线段的和利用矩形的性质巧求折叠中线段的和1.新考法新考法等线段代换法等线段代换法如图，将矩形纸片如图，将矩形纸片ABCD沿对角线沿对角线AC折叠，使点折叠，使点B落到点落到点B的位置，的位置，AB与与CD交于点交于点E.(1)试找出一个与试找出一个与AED全等的全等的三角形，并加以证明；三角形，并加以证明；(2)若若AB8，DE3，P为线段为线段AC上的任意一点，上的任意一点，PGAB于点于点G，PHDC于点于点H，试求，试求PGPH的值的值.特殊平行四边形中的操作型问题特殊平行四边形中的操作型问题2
5、.四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方如图，改变正方形形ABCD的内角，正方形的内角，正方形ABCD变为菱形变为菱形ABCD.若若DAB30，则菱形，则菱形ABCD的面积与正方形的面积与正方形ABCD的面积之比是的面积之比是(B)BA.13.新视角新视角动手操作题动手操作题小中：如图小中：如图，有一张平行四边形纸，有一张平行四边形纸片片ABCD，你能帮我折出一个菱形吗？，你能帮我折出一个菱形吗？小华：可以啊！把平行四边形纸片对折，使小华：可以啊
6、！把平行四边形纸片对折，使A，C两点重合，两点重合，折痕分别交边折痕分别交边AD，BC于于E，F两点，连接两点，连接AF，EC，如图，如图所示，则四边形所示，则四边形AFCE就是菱形了就是菱形了.根据以上操作步骤，请判根据以上操作步骤，请判断小华的方法对不对，并说明理由断小华的方法对不对，并说明理由.【解】小华的方法对，理由如下：【解】小华的方法对，理由如下：如图，连接如图，连接AC交交EF于于O，由折叠可知由折叠可知AEEC，AFCF，OAOC.四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形，AECF.AEOCFO.AOECOF(AAS).AECF.AEECCFAF.四边形四边形AECF是菱
7、形是菱形.4.新视角新视角主题探究题主题探究题综合与实践课上，老师带领同学们以综合与实践课上，老师带领同学们以“正方形和矩形的折叠正方形和矩形的折叠”为主题开展数学活动为主题开展数学活动.(1)操作判断操作判断操作一：将正方形纸片操作一：将正方形纸片ABCD依次沿对角线依次沿对角线AC，BD对折，对折，把纸片展平，折痕的交点为把纸片展平，折痕的交点为O；操作二：在操作二：在AB上取一点上取一点E，在，在BC上取一点上取一点F，将纸片沿，将纸片沿EF折叠，使点折叠，使点B落在点落在点O处，然后延长处，然后延长EO交交DC于点于点G，连接，连接FG.如图如图是经过以上两次操作后得到的图形，是经过以
8、上两次操作后得到的图形，则线段则线段EF和和FG的数量关系是的数量关系是EFFG.EFFG(2)迁移思考迁移思考图图是把矩形纸片是把矩形纸片ABCD按照按照(1)中的操作一和操作二得到中的操作一和操作二得到的图形的图形.请判断请判断AE，EF，FC三条线段之间有什么数量关系三条线段之间有什么数量关系？并仅就图？并仅就图证明你的判断证明你的判断.(2)【解】【解】AE2CF2EF2.证明：由操作一得点证明：由操作一得点O是矩形对角线的交点，是矩形对角线的交点，OAOC.由题意得由题意得ABCD，BCD90，EAOGCO，AEOCGO.OAEOCG(AAS).AECG.由由(1)可知可知EFFG.
9、在在RtFCG中，中，CG2CF2FG2，AE2CF2EF2.特殊平行四边形中的探究型问题特殊平行四边形中的探究型问题5.2023湘潭湘潭问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边的边BC上任意上任意取一点取一点G，以，以BG为一边向外作正方形为一边向外作正方形BEFG，将正方形，将正方形BEFG绕点绕点B顺时针旋转顺时针旋转.特例感知：特例感知：(1)当当BG在在BC上时，连接上时，连接DF，AC相交于点相交于点P，小红发现点，小红发现点P恰为恰为DF的中点，如图的中点，如图
10、，针对小红发现的，针对小红发现的结论，请给出证明；结论，请给出证明；(1)【证明】如图【证明】如图.延长延长FG，交，交AC于于H.四边形四边形ABCD和四和四边形边形BEFG是正方形，是正方形，BCCD，FGBG，CDAE，FGAE，CGHBGF90，ACB45，CHG45，CDFG，ACBCHG，CDPHFP，DCPFHP，CGGH，CGBGGHFG，BCFH，CDFH，CDPHFP(ASA)，DPFP，点点P是是DF的中点的中点.(2)小红继续连接小红继续连接EG，并延长与，并延长与DF相交，发现交点恰好也是相交，发现交点恰好也是DF的中点的中点P，如图，如图，根据小红发现的结论，请判断
11、，根据小红发现的结论，请判断APE的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；规律探究：规律探究：(2)【解】【解】APE是等腰直角三角形，理由如下：是等腰直角三角形，理由如下：四边形四边形ABCD和四边形和四边形BEFG是正方形，是正方形，BAC45BEG，APE90，APEP，APE是等腰直角三角形是等腰直角三角形.(3)如图如图，将正方形，将正方形BEFG绕点绕点B顺时针旋转顺时针旋转，连接，连接DF，点点P是是DF的中点，连接的中点，连接AP，EP，AE，APE的形状是否发的形状是否发生改变？请说明理由生改变？请说明理由.(3)【解】【解】APE的形状不发生改变，理由如下：的形状不发生改变
12、，理由如下：如图如图，延长，延长EP至至Q，使，使PQPE，连接，连接DQ，AQ，延长延长DA和和FE，交于点，交于点N，DPPF，DPQEPF，PQPE，PDQPFE(SAS)，DQEF，PQDPEF，DQEF.NADQ180.四边形四边形ABCD和四边形和四边形BEFG是正方形，是正方形，特殊平行四边形中的阅读理解型问题特殊平行四边形中的阅读理解型问题6.新考法新考法阅读类比法阅读类比法阅读以下材料，然后解决问题：阅读以下材料，然后解决问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形这边所对的顶点在矩形这边的对
13、形的一边重合，且三角形这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形友好矩形”，如图，如图所所示，矩形示，矩形ABEF为为ABC的的“友好矩形友好矩形”，显然，当，显然，当ABC是是钝角三角形时，其钝角三角形时，其“友好矩形友好矩形”只有一个只有一个.(1)仿照以上材料，说明什么是一个三角形的仿照以上材料，说明什么是一个三角形的“友好平行四边友好平行四边形形”；【解】如果一个三角形和一个平行四边形满【解】如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，且三角形这边所对的顶点在平
14、行四边重合，且三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的三角形的“友好平行四边形友好平行四边形”.(2)如图如图，若，若ABC为直角三角形，且为直角三角形，且C90，在图，在图中中画出画出ABC的所有的所有“友好矩形友好矩形”，并比较这些矩形面积的大，并比较这些矩形面积的大小；小；【解】【解】(2)如图如图，共有两个，共有两个“友好矩形友好矩形”，分别为矩形分别为矩形BCAD、矩形、矩形ABEF.易知矩形易知矩形BCAD、矩形、矩形ABEF的面积都等于的面积都等于ABC面积面积的的2倍，倍，ABC的两个的两个“友好矩形友好矩形”的面积相等的面积相等.(3)如图如图，若，若ABC是锐角三角形，且是锐角三角形，且BCACAB，在图，在图中画出中画出ABC的所有的所有“友好矩形友好矩形”，指出其中周长最小的，指出其中周长最小的矩形并加以证明矩形并加以证明.
